Kas yra y išvestinė? Išvestinių finansinių priemonių skaičiavimo taisyklės
- Eksponentinių ir logaritminių funkcijų išvestinių lentelė
Paprastų funkcijų dariniai
1. Skaičiaus išvestinė lygi nuliuiс´ = 0
Pavyzdys:
5' = 0
Paaiškinimas:
Išvestinė rodo greitį, kuriuo keičiasi funkcijos reikšmė pasikeitus jos argumentui. Kadangi skaičius jokiu būdu nesikeičia jokiomis sąlygomis, jo kitimo greitis visada lygus nuliui.
2. Kintamojo išvestinė lygus vienam
x' = 1
Paaiškinimas:
Kiekvieną kartą padidinus argumentą (x) vienu, funkcijos reikšmė (skaičiavimo rezultatas) padidėja tiek pat. Taigi funkcijos y = x reikšmės kitimo greitis yra tiksliai lygus argumento reikšmės kitimo greičiui.
3. Kintamojo ir koeficiento išvestinė yra lygi šiam veiksniui
сx´ = с
Pavyzdys:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
Paaiškinimas:
Šiuo atveju kiekvieną kartą, kai pasikeičia funkcijos argumentas ( X) jo reikšmė (y) didėja Su kartą. Taigi funkcijos reikšmės kitimo greitis, palyginti su argumento kitimo greičiu, yra tiksliai lygus reikšmei Su.
Iš kur tai išplaukia
(cx + b)" = c
tai yra tiesinės funkcijos y=kx+b diferencialas lygus tiesės (k) nuolydžiui.
4. Modulinė kintamojo išvestinė lygus šio kintamojo ir jo modulio daliniui
|x|"= x / |x| su sąlyga, kad x ≠ 0
Paaiškinimas:
Kadangi kintamojo išvestinė (žr. 2 formulę) lygi vienybei, modulio išvestinė skiriasi tik tuo, kad kertant pradinį tašką funkcijos kitimo greičio reikšmė pasikeičia į priešingą (pabandykite nubraižyti grafiką funkcijos y = |x| ir pamatysite patys. Būtent tokią reikšmę ir grąžina išraiška x / |x|. Kai x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - vienas. Tai yra, esant neigiamoms kintamojo x reikšmėms, su kiekvienu argumento padidėjimu, funkcijos reikšmė sumažėja lygiai ta pačia reikšme, o teigiamų verčių, priešingai, padidėja, bet lygiai ta pačia verte. .
5. Kintamojo išvestinė iš laipsnio lygus šios galios skaičiaus ir kintamojo sandaugai laipsniui, sumažintam vienetu
(x c)"= cx c-1, su sąlyga, kad x c ir cx c-1 yra apibrėžti ir c ≠ 0
Pavyzdys:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Norėdami prisiminti formulę:
Perkelkite kintamojo laipsnį žemyn kaip veiksnį, o tada sumažinkite patį laipsnį vienu. Pavyzdžiui, x 2 – du buvo prieš x, o tada sumažinta galia (2-1 = 1) mums tiesiog davė 2x. Tas pats nutiko ir x 3 - „perkeliame“ trigubą žemyn, sumažiname jį vienu ir vietoj kubo turime kvadratą, tai yra, 3x 2. Šiek tiek „nemoksliška“, bet labai lengva įsiminti.
6.Trupmenos išvestinė 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Pavyzdys:
Kadangi trupmena gali būti pavaizduota kaip neigiama galia
(1/x)" = (x -1)", tada galite taikyti formulę iš išvestinių lentelės 5 taisyklės
(x -1)" = -1x -2 = -1 / x 2
7. Trupmenos išvestinė su savavališko laipsnio kintamuoju vardiklyje
(1 / x c)" = - c / x c+1
Pavyzdys:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. Šaknies vedinys(kintamojo po kvadratine šaknimi išvestinė)
(√x)" = 1 / (2√x) arba 1/2 x -1/2
Pavyzdys:
(√x)" = (x 1/2)" reiškia, kad galite taikyti formulę iš 5 taisyklės
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)
9. Kintamojo išvestinė pagal savavališko laipsnio šaknį
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)
Šioje pamokoje mokysimės taikyti diferenciacijos formules ir taisykles.
Pavyzdžiai. Raskite funkcijų išvestinius.
1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Taisyklės taikymas aš, formulės 4, 2 ir 1. Mes gauname:
y’ = 7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.
2. y=3x6 -2x+5. Mes sprendžiame panašiai, naudodami tas pačias formules ir formulę 3.
y’=3∙6x5–2=18x5–2.
Taisyklės taikymas aš, formulės 3, 5
Ir 6
Ir 1.
Taisyklės taikymas IV, formulės 5
Ir 1
.
Penktame pavyzdyje pagal taisyklę aš sumos išvestinė lygi išvestinių sumai, o mes ką tik radome 1-ojo nario išvestinę (pavyzdys 4 ), todėl rasime išvestinių 2-oji Ir 3 terminai ir už 1 d sumuoti galime iš karto parašyti rezultatą.
Atskirkime 2-oji Ir 3 terminai pagal formulę 4
. Norėdami tai padaryti, paverčiame vardikliuose esančias trečiosios ir ketvirtosios galių šaknis į laipsnius su neigiamais rodikliais, o tada pagal 4
formulę, randame galių išvestinius.
Pažvelkite į šį pavyzdį ir rezultatą. Ar pagavote modelį? gerai. Tai reiškia, kad turime naują formulę ir galime įtraukti ją į išvestinių išvestinių lentelę.
Išspręskime šeštąjį pavyzdį ir išveskime kitą formulę.
Pasinaudokime taisykle IV ir formulę 4
. Sumažinkime gautas trupmenas.
Pažvelkime į šią funkciją ir jos išvestinę. Jūs, žinoma, suprantate modelį ir esate pasirengę pavadinti formulę:
Mokykitės naujų formulių!
Pavyzdžiai.
1. Raskite argumento prieaugį ir funkcijos y= prieaugį x 2, jei pradinė argumento reikšmė buvo lygi 4 , ir naujas - 4,01 .
Sprendimas.
Nauja argumento reikšmė x=x 0 +Δx. Pakeiskime duomenis: 4.01=4+Δх, taigi argumento prieaugis Δx=4,01-4=0,01. Funkcijos prieaugis pagal apibrėžimą yra lygus skirtumui tarp naujos ir ankstesnės funkcijos reikšmių, t.y. Δy=f (x 0 + Δx) – f (x 0). Kadangi mes turime funkciją y=x2, Tai Δу=(x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 = (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 = 2x 0 · Δx+(Δx) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
Atsakymas: argumentų prieaugis Δx=0,01; funkcijos padidėjimas Δу=0,0801.
Funkcijos prieaugį galima rasti skirtingai: Δy=y (x 0 + Δx) -y (x 0) = y (4,01) -y (4) = 4,01 2 -4 2 = 16,0801-16 = 0,0801.
2. Raskite funkcijos grafiko liestinės polinkio kampą y=f(x) taške x 0, Jei f "(x 0) = 1.
Sprendimas.
Išvestinės vertė liesties taške x 0 ir yra liestinės kampo liestinės reikšmė (geometrinė išvestinės reikšmė). Mes turime: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, nes tg45°=1.
Atsakymas: šios funkcijos grafiko liestinė sudaro kampą, kurio teigiama Ox ašies kryptis lygi 45°.
3. Išveskite funkcijos išvestinės formulę y=x n.
Diferencijavimas yra funkcijos išvestinės radimo veiksmas.
Ieškodami išvestinių, naudokite formules, kurios buvo išvestos remiantis išvestinės apibrėžimu, taip pat, kaip išvedėme išvestinio laipsnio formulę: (x n)" = nx n-1.
Tai yra formulės.
Darinių lentelė Ištarus žodines formuluotes bus lengviau įsiminti:
1. Pastovaus dydžio išvestinė lygi nuliui.
2. X pirminis yra lygus vienetui.
3. Pastovų koeficientą galima išimti iš išvestinės ženklo.
4. Laipsnio išvestinė yra lygi šio laipsnio rodiklio sandaugai laipsniu su ta pačia baze, bet rodiklis yra vienu mažesnis.
5. Šaknies išvestinė yra lygi vienetui, padalintam iš dviejų lygių šaknų.
6. Vieneto, padalyto iš x, išvestinė yra lygi minus vienas, padalytas iš x kvadratu.
7. Sinuso išvestinė lygi kosinusui.
8. Kosinuso išvestinė lygi minus sinusui.
9. Liestinės išvestinė lygi vienetui, padalytam iš kosinuso kvadrato.
10. Kotangento išvestinė lygi minus vienas, padalytas iš sinuso kvadrato.
Mes mokome diferenciacijos taisyklės.
1. Algebrinės sumos išvestinė lygi terminų išvestinių algebrinei sumai.
2. Produkto išvestinė yra lygi pirmojo ir antrojo veiksnio išvestinei, pridėjus pirmojo veiksnio ir antrojo išvestinės sandaugai.
3. „Y“ išvestinė, padalyta iš „ve“, yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra „y pirminis, padaugintas iš „ve“ atėmus „y padaugintas iš ve pirminio“, o vardiklis yra „ve kvadratas“.
4. Ypatingas formulės atvejis 3.
Mokykimės kartu!
1 puslapis iš 1 1
Matematikos fizinių uždavinių ar pavyzdžių sprendimas yra visiškai neįmanomas be išvestinės ir jos skaičiavimo metodų žinių. Išvestinė yra viena iš svarbiausių matematinės analizės sąvokų. Šiandienos straipsnį nusprendėme skirti šiai pagrindinei temai. Kas yra išvestinė, kokia jos fizikinė ir geometrinė reikšmė, kaip apskaičiuoti funkcijos išvestinę? Visus šiuos klausimus galima sujungti į vieną: kaip suprasti išvestinę?
Geometrinė ir fizikinė išvestinės reikšmė
Tegul būna funkcija f(x) , nurodyta tam tikru intervalu (a, b) . Taškai x ir x0 priklauso šiam intervalui. Pasikeitus x, pasikeičia ir pati funkcija. Argumento keitimas – jo vertybių skirtumas x-x0 . Šis skirtumas parašytas kaip delta x ir vadinamas argumentų prieaugiu. Funkcijos pakeitimas arba padidėjimas yra skirtumas tarp funkcijos reikšmių dviejuose taškuose. Išvestinės priemonės apibrėžimas:
Funkcijos išvestinė taške yra funkcijos padidėjimo tam tikrame taške ir argumento prieaugio santykio riba, kai pastarasis linkęs į nulį.
Kitu atveju jis gali būti parašytas taip:
Kokia prasmė rasti tokią ribą? Ir štai kas tai yra:
funkcijos išvestinė taške yra lygi kampo tarp OX ašies ir funkcijos grafiko liestinės liestei duotame taške.
Fizinė išvestinės reikšmė: kelio išvestinė laiko atžvilgiu lygi tiesinio judėjimo greičiui.
Iš tiesų, nuo mokyklos laikų visi žino, kad greitis yra tam tikras kelias x=f(t) ir laikas t . Vidutinis greitis per tam tikrą laikotarpį:
Norėdami sužinoti judėjimo greitį tam tikru momentu t0 reikia apskaičiuoti ribą:
Pirma taisyklė: nustatykite konstantą
Konstantą galima išimti iš išvestinio ženklo. Be to, tai turi būti padaryta. Spręsdami matematikos pavyzdžius, priimkite tai kaip taisyklę - Jei galite supaprastinti išraišką, būtinai ją supaprastinkite .
Pavyzdys. Apskaičiuokime išvestinę:
Antra taisyklė: funkcijų sumos išvestinė
Dviejų funkcijų sumos išvestinė lygi šių funkcijų išvestinių sumai. Tas pats pasakytina ir apie funkcijų skirtumo išvestinę.
Mes nepateiksime šios teoremos įrodymo, o apsvarstysime praktinį pavyzdį.
Raskite funkcijos išvestinę:
Trečia taisyklė: funkcijų sandaugos išvestinė
Dviejų diferencijuojamų funkcijų sandaugos išvestinė apskaičiuojama pagal formulę:
Pavyzdys: suraskite funkcijos išvestinę:
Sprendimas: 
Čia svarbu kalbėti apie sudėtingų funkcijų išvestinių skaičiavimą. Sudėtinės funkcijos išvestinė yra lygi šios funkcijos išvestinės sandaugai tarpinio argumento atžvilgiu ir tarpinio argumento išvestinei nepriklausomo kintamojo atžvilgiu.
Aukščiau pateiktame pavyzdyje susiduriame su tokia išraiška:
Šiuo atveju tarpinis argumentas yra 8 kartus didesnis už penktą laipsnį. Norėdami apskaičiuoti tokios išraiškos išvestinę, pirmiausia apskaičiuojame išorinės funkcijos išvestinę tarpinio argumento atžvilgiu, o tada padauginame iš paties tarpinio argumento išvestinės nepriklausomo kintamojo atžvilgiu.
Ketvirta taisyklė: dviejų funkcijų dalinio išvestinė
Dviejų funkcijų dalinio išvestinės nustatymo formulė:
Mes bandėme kalbėti apie išvestinius manekenams nuo nulio. Ši tema nėra tokia paprasta, kaip atrodo, todėl perspėkite: pavyzdžiuose dažnai pasitaiko spąstų, todėl būkite atsargūs skaičiuodami išvestines.
Jei turite klausimų šia ir kitomis temomis, galite susisiekti su studentų tarnyba. Per trumpą laiką padėsime išspręsti sunkiausią testą ir suprasti užduotis, net jei dar niekada nedarėte išvestinių skaičiavimų.
Išvesdami pačią pirmąją lentelės formulę, vadovausimės išvestinės funkcijos apibrėžimu taške. Paimkime kur x- bet koks tikrasis skaičius, ty x– bet koks skaičius iš funkcijos apibrėžimo srities. Užrašykime funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykio ribą: 
Reikėtų pažymėti, kad pagal ribinį ženklą gaunama išraiška, kuri nėra nulio neapibrėžtis, padalyta iš nulio, nes skaitiklyje yra ne be galo maža reikšmė, o tiksliai nulis. Kitaip tariant, pastovios funkcijos prieaugis visada yra lygus nuliui.
Taigi, pastovios funkcijos išvestinėyra lygus nuliui visoje apibrėžimo srityje.
Galios funkcijos išvestinė.
Galios funkcijos išvestinės formulė turi formą 
, kur eksponentas p– bet koks tikrasis skaičius.
Pirmiausia įrodykime natūraliojo rodiklio formulę, tai yra už p = 1, 2, 3, …
Naudosime išvestinės apibrėžimą. Užrašykime galios funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykio ribą: 
Norėdami supaprastinti išraišką skaitiklyje, pereiname prie Niutono dvinario formulės: 
Vadinasi, 
Tai įrodo natūraliojo eksponento laipsnio funkcijos išvestinės formulę.
Eksponentinės funkcijos išvestinė.
Pateikiame išvestinės formulės išvedimą pagal apibrėžimą:
Atėjome į netikrumą. Norėdami jį išplėsti, pristatome naują kintamąjį ir . Tada . Paskutiniame perėjime naudojome perėjimo prie naujos logaritminės bazės formulę.
Pakeiskime pradinę ribą: 
Jei prisiminsime antrąją reikšmingą ribą, gauname eksponentinės funkcijos išvestinės formulę: 
Logaritminės funkcijos išvestinė.
Įrodykime logaritminės funkcijos išvestinės formulę visiems x iš apibrėžimo srities ir visų galiojančių bazės reikšmių a logaritmas Pagal išvestinės priemonės apibrėžimą turime: 
Kaip pastebėjote, įrodinėjimo metu transformacijos buvo atliekamos naudojant logaritmo savybes. Lygybė 
yra tiesa dėl antrosios nepaprastos ribos.
Trigonometrinių funkcijų dariniai.
Norėdami išvesti trigonometrinių funkcijų išvestinių formules, turėsime prisiminti kai kurias trigonometrijos formules, taip pat pirmąją reikšmingą ribą.
Pagal mūsų turimos sinusinės funkcijos išvestinės apibrėžimą 
.
Naudokime sinusų skirtumo formulę: 
Belieka pereiti prie pirmosios nepaprastos ribos: 
Taigi funkcijos išvestinė nuodėmė x Yra cos x.
Lygiai taip pat įrodoma kosinuso išvestinės formulė. 
Todėl funkcijos išvestinė cos x Yra – nuodėmė x.
Tangento ir kotangento išvestinių lentelės formules išvesime naudodami įrodytas diferenciacijos taisykles (trupmenos išvestinę). 
Hiperbolinių funkcijų dariniai.
Diferencijavimo taisyklės ir eksponentinės funkcijos išvestinės formulė iš išvestinių lentelės leidžia išvesti hiperbolinio sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento išvestinių formules. 
Atvirkštinės funkcijos išvestinė.
Norėdami išvengti painiavos pateikimo metu, apatiniame indekse pažymėkime funkcijos argumentą, pagal kurį atliekamas diferencijavimas, tai yra, tai yra funkcijos išvestinė f(x) Autorius x.
Dabar suformuluokime atvirkštinės funkcijos išvestinės radimo taisyklė.
Tegul funkcijos y = f(x) Ir x = g(y) tarpusavyje atvirkštiniai, apibrėžti intervalais ir atitinkamai. Jeigu taške yra baigtinė nulinė funkcijos išvestinė f(x), tada taške yra atvirkštinės funkcijos baigtinė išvestinė g(y), ir 
. Kitame įraše 
.
Šią taisyklę galima performuluoti bet kuriai x iš intervalo , tada gauname 
.
Patikrinkime šių formulių pagrįstumą.
Raskime atvirkštinę natūraliojo logaritmo funkciją 
(Čia y yra funkcija ir x- argumentas). Išsprendę šią lygtį x, gauname (čia x yra funkcija ir y– jos argumentas). Tai yra, 
ir tarpusavyje atvirkštines funkcijas.
Iš išvestinių lentelės matome, kad 
Ir 
.
Įsitikinkite, kad formulės, skirtos rasti atvirkštinės funkcijos išvestines, duoda tuos pačius rezultatus: 
Išvestinės apskaičiavimas dažnai randamas vieningo valstybinio egzamino užduotyse. Šiame puslapyje pateikiamas išvestinių išvestinių formulių sąrašas.
Diferencijavimo taisyklės
- (k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x).
- (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
- (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
- Sudėtingos funkcijos išvestinė. Jei y=F(u) ir u=u(x), tai funkcija y=f(x)=F(u(x)) vadinama kompleksine x funkcija. Lygu y′(x)=Fu′⋅ ux′.
- Netiesioginės funkcijos išvestinė. Funkcija y=f(x) vadinama numanoma funkcija, apibrėžta santykiu F(x,y)=0, jei F(x,f(x))≡0.
- Atvirkštinės funkcijos išvestinė. Jei g(f(x))=x, tai funkcija g(x) vadinama funkcijos y=f(x) atvirkštine funkcija.
- Parametriškai apibrėžtos funkcijos išvestinė. Tegu x ir y nurodomi kaip kintamojo t funkcijos: x=x(t), y=y(t). Jie sako, kad y=y(x) yra parametriškai apibrėžta funkcija intervale x∈ (a;b), jei šiame intervale lygtis x=x(t) gali būti išreikšta kaip t=t(x) ir funkcija y=y(t(x))=y(x).
- Laipsninės eksponentinės funkcijos išvestinė. Rasta paėmus logaritmus į natūraliojo logaritmo pagrindą.
