Цель урока: Обобщить и сложить в систему все те знания и умения, которыми мы владеем. Формировать умения, решать квадратные

Презентация к уроку

Актуализация опорных знаний

1.Уравнение, какого вида называется квадратным?

Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2 + вх +с = 0,где х – переменная, а, в и с – некоторые числа, причем а не равно 0.

2.Какое из выражений является квадратным уравнением?

7х – х 2 + 5 = 0

3.Назовите коэффициенты в уравнениях:

5х 2 + 4х + 1 = 0 х 2 + 5 =0 - х 2 + х = 0

а = 1; в = 0; с = 5

а = -1; в = 1; с = 0

а = - 5 ; в = 4; с = 1

4.Составьте квадратное уравнение, если

а = 5, в = -3, с = -2.

5х 2 - 3х – 2 = 0

5.Какие квадратные уравнения называются неполными квадратными уравнениями?

Если в квадратном уравнении а х 2 + в х + с = 0 хотя бы один из коэффициентов в или с равен нулю,

то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

6.Назовите виды неполных квадратных уравнений.

1) а х 2 + с = 0

2) а х 2 + в х = 0

3) а х 2 = 0

7.Как называется выражение в 2 – 4 ас ?

Дискриминант

0 два корня в 2 – 4 ас = 0 один корень в 2 – 4 ас не имеет корней 9.Напишите формулу корней квадратного уравнения общего вида." width="640"

8.Чтобы это значило?

в 2 – 4 ас 0

два корня

в 2 – 4 ас = 0

один корень

в 2 – 4 ас

не имеет корней

9.Напишите формулу корней квадратного уравнения общего вида.

1.Какое из выражений является квадратным уравнение?

Вариант 1. Вариант 2.

а) 3х + 1 = 0 а) 5х 2 + х – 4 = 0

б) 5х + 4х 2 =0 б) 4х – 3 = 0

в) 4х 2 + х – 1 в) х 2 – х – 12

2. Какие из чисел являются корнями уравнения?

Вариант 1. Вариант 2.

х 2 + 3х + 2 = 0 х 2 – 6х + 8 = 0

а) -1 и - 2 а) – 4 и 2

б) 2 и -1 б) 4 и -2

в) -2 и 1 в) 4 и 2

0 при 𝐃 = 0 а) один а) один б) два б) два в) ни одного в) ни одного" width="640"

3.Определите знаки корней уравнения, не решая его:

Вариант 1. Вариант 2.

х 2 -14х + 21 = 0 х 2 – 2х – 35 =0

а) (- и +) а) (+ и +)

б) (- и -) б) (- и +)

в) (+ и +) в) (- и -)

4.Сколько корней имеет уравнение а х 2 + в х + с = 0

Вариант1. Вариант 2.

при 𝐃 0 при 𝐃 = 0

а) один а) один

б) два б) два

в) ни одного в) ни одного

5.Не решая уравнения, определите, сколько корней оно имеет:

Вариант1. Вариант 2.

5х 2 – 6х + 2 = 0 х 2 + 10х + 9 = 0

а) один а) один

б) два б) два

в) ни одного в) ни одного

Взаимопроверка:

Вариант1. Вариант 2.

Ключ к заданию Критерий оценивания Нет ошибок – 5 баллов 1-2 ошибки – 4 балла 3-4 ошибки – 3 балла 5-6 ошибок – 2 балла Более 6 ошибок – 0 баллов

Появились первые квадратные уравнения очень давно. Их решали в Вавилоне около 2000лет до нашей эры, а Европа семь лет назад отпраздновала 800-летие квадратных уравнений, потому что именно в 1202 году итальянский ученый Леонард Фибоначчи изложил формулы квадратного уравнения. И лишь в 17 веке, благодаря Ньютону, Декарту и другим ученым эти формулы приняли современный вид.

0, то уравнение имеет два корня 4.Если D=0, то уравнение имеет один корень 5.Если D" title="Алгоритм решения квадратного уравнения 1.Найти коэффициенты уравнения 2.Вычислить дискриминант по формуле D= в² - 4ас 3.Если D>0, то уравнение имеет два корня 4.Если D=0, то уравнение имеет один корень 5.Если D" class="link_thumb"> 7 Алгоритм решения квадратного уравнения 1.Найти коэффициенты уравнения 2.Вычислить дискриминант по формуле D= в² - 4ас 3.Если D>0, то уравнение имеет два корня 4.Если D=0, то уравнение имеет один корень 5.Если D 0, то уравнение имеет два корня 4.Если D=0, то уравнение имеет один корень 5.Если D"> 0, то уравнение имеет два корня 4.Если D=0, то уравнение имеет один корень 5.Если D"> 0, то уравнение имеет два корня 4.Если D=0, то уравнение имеет один корень 5.Если D" title="Алгоритм решения квадратного уравнения 1.Найти коэффициенты уравнения 2.Вычислить дискриминант по формуле D= в² - 4ас 3.Если D>0, то уравнение имеет два корня 4.Если D=0, то уравнение имеет один корень 5.Если D"> title="Алгоритм решения квадратного уравнения 1.Найти коэффициенты уравнения 2.Вычислить дискриминант по формуле D= в² - 4ас 3.Если D>0, то уравнение имеет два корня 4.Если D=0, то уравнение имеет один корень 5.Если D">

«Торопись, да не ошибись!» Ключ к тесту Критерий оценивания 1-В 2-В Нет ошибок – 5 баллов 1 ошибка – 4 балла 3 ошибки – 2 балла 2 ошибки – 1 балл 4-5 ошибок – 0 баллов

Карта результативности Ф.И.РазминкаЧуть – чуть подумай Вопросы теории Решение уравнений Лови ошибкуТестИтого Критерии оценивания: баллов – «5» 9-14 баллов - «4» 5-8 баллов - «3»

От чего зависит количество корней квадратного уравнения? Ответ: От знака D. D=0 D 0 1 корень Нет корней два корня Х=-в/2 аХ=(-в+D)/2 а 0 1 корень Нет корней два корня Х=-в/2 аХ=(-в+D)/2 а"> 0 1 корень Нет корней два корня Х=-в/2 аХ=(-в+D)/2 а"> 0 1 корень Нет корней два корня Х=-в/2 аХ=(-в+D)/2 а" title="От чего зависит количество корней квадратного уравнения? Ответ: От знака D. D=0 D 0 1 корень Нет корней два корня Х=-в/2 аХ=(-в+D)/2 а"> title="От чего зависит количество корней квадратного уравнения? Ответ: От знака D. D=0 D 0 1 корень Нет корней два корня Х=-в/2 аХ=(-в+D)/2 а">

Задание. В колбах налиты жидкости, в которых плавают квадратные уравнения. Если D>0,то из колбы выделяется пар, в котором находятся корни уравнения. Если D 0,то из колбы выделяется пар, в котором находятся корни уравнения. Если D"> 0,то из колбы выделяется пар, в котором находятся корни уравнения. Если D"> 0,то из колбы выделяется пар, в котором находятся корни уравнения. Если D" title="Задание. В колбах налиты жидкости, в которых плавают квадратные уравнения. Если D>0,то из колбы выделяется пар, в котором находятся корни уравнения. Если D"> title="Задание. В колбах налиты жидкости, в которых плавают квадратные уравнения. Если D>0,то из колбы выделяется пар, в котором находятся корни уравнения. Если D">

Трактат и его содержание Первой дошедшей до нас книгой, в которой изложена классификация квадратных уравнений и даны способы их решения, а также геометрические доказательства этих решений, является трактат «Китаб аль-джебр валь-мукабала» Мухаммеда аль- Хорезми. Математик Мухаммед аль-Хорезми разъясняет приёмы решения уравнений вида ax 2 =bx, ax 2 =c, ax 2 +c=bx, ax 2 +bx=c, bx+c=ax 2 (буквами a, b, c обозначены лишь положительные числа) и отыскивает только положительные корни.

Задача «Квадрат и число 21 равно 10 корням. Найти корень (подразумевается корень уравнения X 2 +21=10X). Решение автора звучит примерно так: «Раздели пополам число корней- получишь 5, умножь 5 на само себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4- получишь 2. отними 2 от 5- получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь к 5, что даст 7, это тоже его корень.

Исследование: а) рассмотрим приведённое квадратное уравнение X 2 +3X-10=0; перепишем его в виде X 2 -10=-3X. Решение: 1) разделим пополам число корней: -3:2=-1,5 2)умножим (-1,5) на само себя: -1,5*(-1,5)=2,25 3) от произведения отнимем (-10): 2,25-(-10)=2,25+10=12,25

4)извлеки корень квадратный из 12,25: получаем 3,5 5) отнимем 3,5 от (-1,5): -1,5-3,5=-5- это будет искомый корень первый 6) прибавим 3,5 к (-1,5): -1,5+3,5=2- это будет искомый корень второй. Сделаем проверку: При Х 1 =-5 При Х 2 = = =0 0=0 (верно) Ответ: Х 1 =-5, Х 2 =2.

Вывод: Действительно, приведённый метод решения приведенного квадратного уравнения в трактате математиком Мухаммедом аль-Хорезми только для положительных чисел, применим и для отрицательных чисел тоже. Составим алгоритм решения приведённых квадратных уравнений методом Мухаммеда аль-Хорезми.

Алгоритм решения 1) Запишем уравнение в виде: X 2 +c=bX 2) Разделим на 2 число корней b 3) Возведём в квадрат результат п.2 4) Из результата п.3 вычесть свободный член с 5) Извлечь корень квадратный из результата п.4 6) Из результата п. 2 вычесть результат п.5 получим первый корень 7) К результату п.2 прибавить результат п.5 получим второй корень

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

АЛГЕБРА, 8 класс Тема урока: «Квадратные уравнения» Если ты услышишь, что кто-то не любит математику, не верь. Её нельзя не любить - её можно только не знать.

уравнение вида ах 2 + вх +с = 0 , где х –переменная, а, в и с некоторые числа, причем а 0 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Квадратным уравнением называется

ПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ а ≠ 0, в ≠ 0, с ≠ 0 а ≠ 0, в = 0, с = 0 2х 2 +5х-7=0 6х+х 2 -3=0 Х 2 -8х-7=0 25-10х+х 2 =0 3х 2 -2х=0 2х+х 2 =0 125+5х 2 =0 49х 2 -81=0

1 вариант а) 6х 2 – х + 4 = 0 б) 12х - х 2 = 0 в) 8 + 5х 2 = 0 2 вариант а) х – 6х 2 = 0 б) - х + х 2 – 15 = 0 в) - 9х 2 + 3 = 0 1 вариант а) а = 6, в = -1, с = 4; б) а = -1, в = 12, с = 0 ; в) а = 5, в = 0, с = 8; 2 вариант а) а = -6, в =1, с = 0; б) а = 1, в =-1, с = - 15; в) а = -9, в = 0, с = 3. Определите коэффициенты квадратного уравнения:

РЕШЕНИЕ НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ в=0 ах 2 +с=0 с=0 ах 2 +вх=0 в,с=0 ах 2 =0 1.Перенос с в правую часть уравнения. ах 2 = -с 2.Деление обеих частей уравнения на а. х 2 = -с/а 3.Если –с/а > 0 -два решения: х 1 = и х 2 = - Если –с/а

РЕШИ НЕПОЛНЫЕ УРАВНЕНИЯ: 1 вариант: 2 вариант: а) 2х + 3х 2 = 0 а) 3х 2 – 2х = 0 б) 3х 2 – 243= 0 б) 125 - 5х 2 = 0 в) 6х 2 = -10х – 2х(5 – 3х). в) -12х – 6х(2 – 3х) = 18х 2

Проверь товарища 1 вариант а) х(2+3х)=0, х=0 или 2+3х =0, 3х = -2, х= -2/3. Ответ: 0 и -2/3. б) 3х 2 = 243, х 2 = 243/3, х 2 = 81, х =-9, х= 9. Ответ: -9 и 9. в) 6х 2 = - 10х -10х + 6х 2, 6х 2 +10х +10х - 6х 2 =0, 20х = 0, х=0. Ответ: 0. 2 вариант а) х(3х -2) =0, х=0 или 3х-2 =0, 3х = 2, х = 2/3. Ответ: 0 и 2/3. б) - 5 х 2 = - 125, х 2 = -125/-5, х 2 = 25, х = - 5, х = 5. Ответ: -5 и 5. в) - 12х -12х +18 х 2 - 18 х 2 = 0, - 24х = 0, х = 0. Ответ: 0.

Динамическая пауза а) 3х 2 – 5х - 2 = 0 б) 4х 2 – 4х + 1= 0 в) х 2 – 2х +3 = 0 г) 6х 2 – х + 4 = 0 д) 12х - х 2 = 0 е) 8 + 5х 2 = 0 ж) 5х 2 – 4х + 2 = 0 з) 4х 2 – 3х -1= 0 и) х 2 – 6х + 9= 0 к) х – 6х 2 = 0 л) - х + х 2 – 15 = 0 м) - 9х 2 + 3 = 0

Способы решения полных квадратных уравнений Выделение квадрата двучлена. Формула: D = b 2 - 4ac, x 1,2 = Теорема Виета.

От чего зависит количество корней квадратного уравнения? Ответ: От знака D - дискриминанта. D =0 D 0 1 корень Нет корней два корня Х=-в/2а Х=(-в+ √D)/2а

Вычисли дискриминант и определи количество корней квадратного уравнения 1 вариант а) 3х 2 – 5х - 2 = 0 б) 4х 2 – 4х + 1= 0 в) х 2 – 2х +3 = 0 2 вариант а) 5х 2 – 4х + 2 = 0 б) 4х 2 – 3х -1= 0 в) х 2 – 6х + 9= 0

Проверь товарища D= b 2 -4ac 1 вариант а) D = (-5) 2 - 4*3*(-2) = 49, 2 корня; б) D = (-4) 2 - 4*4*1 = 0 , 1 корень; в) D = (-2) 2 - 4*1*3 = -8, нет корней 2 вариант а) D = (-4) 2 - 4*5*2 = -24, нет корней; D = (-3) 2 - 4*4*(-1) = 25, 2 корня; D = (-6) 2 - 4*1*9 = 0 , 1 корень

РЕШИ УРАВНЕНИЯ с помощью формулы: 1 вариант: 2 вариант: 2х 2 + 5х -7 = 0 2х 2 + 5х -3= 0

Проверь себя 1 вариант 2х 2 + 5х -7 = 0, D =5 2 - 4 *2* (-7)= 81 = 9 2 , х = (-5 -9)/2*2=-14/4=- 3,5, х =(-5 +9)/4=4/4=1. Ответ: -3,5 и 1. 2 вариант 2х 2 + 5х -3= 0, D = 5 2 – 4 *2* (-3)= 49 = 7 2 , х = (-5 -7)/2*2=-12/4= -3, х = (-5 +7)/4= 2/4= 0,5. Ответ: -3 и 0,5.

Исторические сведения: Квадратные уравнения впервые встречаются в работе индийского математика и астронома Ариабхатты. Другой индийский ученый Брахмагупта (VII в) изложил общее правило решения квадратных уравнений, которое практически совпадает с современным. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Задачи часто облекались в стихотворную форму. ________________________________________________ Вот задача Бхаскары: Обезьянок резвых стая, всласть поевши, развлекалась. Их в квадрате часть восьмая на полянке забавлялась. А двенадцать по лианам стали прыгать, повисая. Сколько ж было обезьянок, ты скажи мне, в этой стае?

Решение задачи Бхаскары: Пусть было х обезьянок, тогда на поляне забавлялось – (х/8) 2 и 12 прыгали по лианам. Составим уравнение: (х/8) 2 + 12 = х, х 2 /64 + 12 – х =0, /*64 х 2 - 64х + 768 = 0, D = (-64) 2 -4*1*768 =4096 – 3072 = 1024 = 32 2 , 2 корня х= (64 -32)/2 = 16, х= (64 + 32)/2 = 48. Ответ: 16 или 48 обезьянок.