Atgal į priekį

Dėmesio! Skaidrių peržiūros yra skirtos tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visų pristatymo funkcijų. Jei jus domina šis darbas, atsisiųskite pilną versiją.

Pristatymai yra tam tikra kadrų seka, kurioje yra tekstas, piešinys arba abu.

Paveikslą kuriantis menininkas mato galutinį savo plano tikslą. Galutiniu rezultatu domisi ir paveikslą vertinantys žiūrovai. Menininko kelias dažnai lieka paslaptimi net meno istorikams.

Mokytojas, aiškinantis naują temą, priešingai, yra suinteresuotas parodyti rezultato gavimo seką, atskirus jo žingsnius arba, taip sakant, jo gavimo „algoritmą“.

Garsus matematikas ir astronomas Jules'as Henri Poincaré (1854 – 1912) savo sėkmę aiškino įsimindamas algoritmus, o ne faktus. Lengviau atsiminti algoritmą, tai yra loginę seką, nei atskirą faktą.

Mokinys taip pat geriau suprastų algoritmą. Tačiau vadovėlyje dažnai nėra visų tarpinių sprendimo gavimo etapų, ypač kalbant apie brėžinių konstravimą. Dažniausiai rodomas galutinis brėžinys, kuriame yra daug elementų, o tai nepadeda mokiniui jo suprasti ir prisiminti.

Žingsnis po žingsnio arba elementas po elemento teksto ir brėžinių atvaizdavimas vadovėlyje neįmanomas. Dėl to padidėtų jo tūris.

Yra programų, kurios suteikia mokytojui galimybę kurti pristatymus, pvz.

„Power Point“ programa su daugybe rėmelių kūrimo ir naršymo galimybių. Tačiau ši programa neturi galimybės atskleisti piešinio turinio po vieną elementą. Brėžinys rodomas pilnai arba rodoma tam tikra jo dalis, o norint nuosekliai matyti pokyčius brėžinyje, reikia kurti naujus brėžinius ir rodyti juos nuosekliai, o tai padidina programos dydį ir reikalauja tikslaus išlygiavimo brėžinių padėtis, nes net ir nedideli nukrypimai lemia poslinkio brėžinį ir apsunkina suvokimą.

Tuo tarpu yra laisvai platinama „LaTex“ sistema, apimanti „Beamer“ ir „Tikz“ paketus, kuri leidžia ir kurti prezentacijas, ir palaipsniui rodyti piešinį nekeičiant viso kadro, o pridedant piešinio elementus. Ši funkcija ypač svarbi, kai rodomi sudėtingi brėžiniai su daugybe elementų. Rodydamas visą piešinį, mokiniui sunku iš karto suprasti, kaip ir kokia seka buvo sukurti piešinio elementai, todėl sunku suprasti.

Šio pristatymo tikslas – parodyti aukščiau pateiktų paketų teikiamas galimybes kuriant palaipsniui atsiskleidžiančius turinio rėmelius (skaidrius). Praktinis tokių pristatymų pritaikymas parodė didesnį jų efektyvumą mokymosi procese, ypač skyriuose, kuriuose reikia atsižvelgti į gana sudėtingus brėžinius. Tokiuose skyriuose yra tema „Tiesės ir plokštumos statmenumo ženklas“.

Pateikiame trumpą pristatymo santrauką.

Pirmiausia parodomas pristatymo pavadinimas (1 skaidrė). Tada seka epigrafas, kuris kiekvienai pamokai yra skirtingas (2, 3 skaidrės), o tada pamokos tikslas (4–7 skaidrės), paeiliui atskleidžiamas ekrane.

1. Pakartokite teorinę medžiagą iš ankstesnės pamokos (4 skaidrė).
2. Išspręskite 119 uždavinį (5 skaidrė).
3. Įrodykite tiesės ir plokštumos statmenumo ženklą (6 skaidrė).
4. Parodykite statmenumo ženklo naudojimą spręsdami uždavinius (7 skaidrė).

Temos „Statmenos linijos“ kartojimas.

Klausimas: Kokios erdvės linijos vadinamos statmenomis (8 skaidrė)?

Atsakymas:(iš pradžių atsakymų į klausimus nematyti, tada jie atsidaro toje pačioje skaidrėje ir paryškinami raudonai)

Dvi tiesės erdvėje vadinamos statmenomis, jei kampas tarp jie lygūs 90 laipsnių (9 skaidrės (atsakymas) ir 10 (brėžinys)).

Klausimas: Ką lema nurodo dviejų lygiagrečių tiesių statmenai trečiajai tiesei (11 skaidrė)?

Atsakymas: Jei viena iš dviejų lygiagrečių tiesių yra statmena trečiajai tiesei, tai kita tiesė yra statmena šiai linijai (12 skaidrė (atsakymas) ir 13 (brėžinys)).

Klausimas: Kuri linija vadinama statmena plokštumai (14 skaidrė).

Atsakymas: Sakoma, kad tiesė yra statmena plokštumai, jei ji statmena bet kuriai šioje plokštumoje esančiai tiesei (žymėjimas a ⊥ a(15 skaidrė)). Rodomas paveikslėlis (16 skaidrė).

Klausimas: Koks ryšys tarp lygiagrečių tiesių lygiagretumo ir jų statumo plokštumai (17 skaidrė)?

Atsakymas: Jei viena iš dviejų lygiagrečių tiesių yra statmena plokštumai, tai kita tiesė yra statmena šiai plokštumai (18 skaidrė (atsakymas) ir 19 (brėžinys)).

Klausimas: Kaip formuluojama atvirkštinė teorema (20 skaidrė)?

Atsakymas: Jei dvi tiesės yra statmenos plokštumai, tada jos yra lygiagrečios (21 skaidrė).

Rodomas paveikslėlis (22 skaidrė).

Įsivaizduokite telegrafo stulpus palei kelią. Ar galima sakyti, kad stulpai yra statmeni kelio plokštumai (23, 24, 25 skaidrės)?

Tai uždrausta! Kaip matote antrame paveikslėlyje (vaizdas iš šono), kairysis ir dešinysis stulpai nėra lygiagrečiai (26 skaidrė).

Išspręskime uždavinį Nr.119.

Tiesiai O.A. statmenai plokštumai OBC ir laikotarpis O yra atkarpos vidurio taškas. REKLAMA. Įrodyk, kad a) AB=D.B.; b) AB=A.C., Jei OB =O.C.; V) OB =O.C., Jei AB=A.C.(27 skaidrė).

Sprendimas (a)) (28 skaidrė). Rodomas paveikslėlis (29 skaidrė). O.A.⊥ OBC pagal būklę (30 skaidrė), tada O.A.⊥ O.B. nustatant tiesės statmeną plokštumai (31 skaidrė). OA=O.D. pagal problemos sąlygas, todėl O.B.- statmenas bisektorius į REKLAMA ir todėl AB=D.B.(32 skaidrė).

Sprendimas (b)) (33 skaidrė). Rodomas paveikslėlis (34 skaidrė). O.A.⊥ OBC pagal būklę (35 skaidrė), tada O.A.⊥ O.C.. Jeigu O.B.= O.C., tada Δ AOC=Δ AOB(ant dviejų kojų) ir AB=A.C.(36 skaidrė).

Sprendimas (c atvejis)) (37 skaidrė). Rodomas paveikslėlis (38 skaidrė). Jeigu AB=A.C., tada Δ AOC=Δ AOB(ant kojos ir hipotenuzės) ir OB =O.C.(39 skaidrė).

Klausimas: Kaip galite patikrinti, ar tam tikra linija yra statmena nurodytai plokštumai, ar ne (40 skaidrė)? Atsakymą duoda teorema, išreiškianti tiesės ir plokštumos statmenumo ženklą (41 skaidrė).

Jei tiesė yra statmena dviem susikertančioms tiesėms, esančioms plokštumoje, tai ji yra statmena šiai plokštumai (42 skaidrė).

Trumpai išdėstomos teoremos sąlygos ir jos išvados (43 - 46 skaidrės).

Tada rodomas įrodymas (žingsnis po žingsnio).

Apsvarstykite lėktuvą a(47 skaidrė), (plokštuma parodyta a(48 skaidrė)) ir tiesioginis a, a⊥ p, a⊥ q, kur (49 skaidrė) (rodoma tiesi linija a(50 skaidrė)), p Ir q– tiesės, priklausančios plokštumai a, susikerta taške O(51 skaidrė). (Rodomos tiesios linijos p,q ir laikotarpis O(52, 53 skaidrės)).

Leisti m savavališka plokštumos tiesė a(54 skaidrė). (Rodoma tiesi linija m(55 skaidrė)). Įrodykime tai a ⊥ m. Tada a ⊥ a(pagal apibrėžimą) (56 skaidrė).

Pirmiausia panagrinėkime atvejį, kai tiesi linija a eina per tašką O(57 skaidrė). (Rodoma tiesi linija a(58 skaidrė)).

Nubrėžkime tašką O tiesioginis l, lygiagrečiai m(59 skaidrė). (Rodoma tiesi linija m(60 skaidrė)).

Pažymėkime tiesioje linijoje a taškų A Ir B taip kad OA=O.B.(61 skaidrė). (Parodomi taškai A Ir B(62 skaidrė)).

Pieškime plokštumoje a linija, kertanti linijas p,q Ir l taškuose P,Q,L atitinkamai (63 skaidrė). (Ši tiesi linija parodyta (64 skaidrė)).

p Ir q- mediana statmenai į AB. Štai kodėl AP=B.P.(65 skaidrė), (rodomos tiesios linijos AP Ir B.P.(66 skaidrė)) AQ=BQ(67 skaidrė), (rodomos tiesios linijos AQ Ir BQ(68 skaidrė))

Δ APQ =Δ B.P.Q. iš trijų pusių (69 skaidrė). Tada kampas APQ lygus kampui B.P.Q.(70 skaidrė).

Nubrėžkime segmentus AL Ir B.L.(71 skaidrė). (Rodomi segmentai AL Ir B.L.(72 skaidrė)).

Δ APL=Δ BPL iš dviejų pusių ir kampas tarp jų. Štai kodėl AL=B.L.(73 skaidrė).

Tada Δ ABL lygiašonis (74 skaidrė). Jos mediana L.O. yra jo aukštis, tai yra l ⊥a(75 skaidrė). Nes l lygiagrečiai m Ir l ⊥ a, tada pagal lemą apie dviejų lygiagrečių tiesių statmeną trečiajai m ⊥ a(76 skaidrė) .

Taigi, tiesiai a statmena bet kuriai linijai m lėktuvas a, tai yra m ⊥ a(77 skaidrė).

Tegul dabar būna tiesiai a nepraeina per tašką O(78 skaidrė). (Rodoma tiesi linija, kuri nekerta taško O(79 skaidrė)).

Nubrėžkime tašką O tiesioginis a 1 lygiagrečiai a(80 skaidrė). (Rodoma tiesi linija a 1(81 skaidrė)).

Pagal lemą a 1⊥ p Ir a 1⊥ q, todėl pagal tai, kas buvo įrodyta pirmuoju atveju a 1⊥ a(82 skaidrė).

Tada pagal teoremą apie dvi lygiagrečias tieses, iš kurių viena yra statmena plokštumai, išplaukia: a ⊥ a(83 skaidrė).

Statmens funkcijos naudojimo pavyzdys.

128 uždavinys. Per tašką O lygiagretainio įstrižainių sankirta ABCD buvo nubrėžta tiesioginė linija OM Taigi MA=M.C., MB=M.D.. Įrodykite, kad linija OM statmenai lygiagretainio plokštumai (84 skaidrė). (Rodomas problemos paveikslėlis (85 skaidrė)).

Sprendimas (86 skaidrė)

Pagal sąlygą MA=M.C. Ir AO=O.C. lygiagretainio įstrižainių savybe (87 skaidrė). Štai kodėl M.O.– lygiašonio trikampio mediana A.M.C.(88 skaidrė). Vadinasi, M.O. taip pat šio trikampio aukštis, tai yra M.O. ⊥ A.C.(89 skaidrė).

Panašiai įrodyta, kad M.O. ⊥ BD(90 skaidrė).

Nes M.O. ⊥ A.C. Ir M.O. ⊥ BD, Tai M.O. ⊥ ABCD remiantis tiesės ir plokštumos statmenumu (91 skaidrė).

Literatūra (93 skaidrė):

1. „Till Tantau“ naudotojo vadovas „Beamer Class“, 3.07 versija. http://latex-beamer.sourceforge.net, 2011 m. rugsėjo 29 d.
2. Iki Tantau Tikz ir PGF paketai, 2.10 versijos vadovas, http://sourceforge.net/projects/pgf, 2010 m. spalio mėn.

Tema: Tiesės ir plokštumos statmenumo ženklas

Geometrijos pamoka 10 klasėje

Pamokos informacijos kortelė

Prekė: Geometrija

Klasė: 10 .

Tema: „Tiesės ir plokštumos statmenumo ženklas“

Pamokos tikslai:

Susipažinkite su tiesės ir plokštumos statmenumo ženklu ir išmokite jį pritaikyti sprendžiant stereometrijos uždavinius

Mokinių erdvinės vaizduotės ir loginio mąstymo ugdymas

Ugdykite pagarbų požiūrį į kitų nuomonę

Pamokos formatas: sujungti

Pamokos struktūra

Laiko organizavimas

Mokinių žinių atnaujinimas tema „Tiesių statmena erdvėje. Tiesės ir plokštumos statmenumo nustatymas.

Įvadas į tiesės ir plokštumos statmenumo ženklą, teoremos įrodymas.

Tiesės ir plokštumos statmens ženklo naudojimo sprendžiant žodžiu ir raštu uždavinius įgūdžių ugdymas.

Apibendrinant pamoką.

Namų darbai.

Pamokos aprašymas

Organizacinis pamokos momentas: pasisveikinimas, pasirengimo pamokai tikrinimas (darbo sąsiuviniai, vadovėliai, rašymo priemonės).

Žinių atnaujinimas mokiniai gavo per ankstesnę pamoką:

• tiesių statmenumo erdvėje samprata;

  tiesės ir plokštumos statmena;

  lygiagrečių tiesių, statmenų plokštumai, savybės.

2.1. Norėdamas atnaujinti žinias, vienas mokinys prieina prie lentos ir užsirašo didžiausius namų darbų sunkumų sukėlusios problemos sprendimą.

2.2. Kol jis ruošiasi, priekinė klasės apklausa:

Kokia santykinė linijų padėtis erdvėje?

Kaip nustatomas kampas tarp tiesių erdvėje?

Kokios erdvės linijos vadinamos statmenomis?

Nurodykite lygiagrečių tiesių, statmenų trečiajai tiesei, lemą.

Apibrėžkite tiesės ir plokštumos statmenumą.

Baigę greitai patikrinkite atsakymų teisingumą. Aptarkite problemas, kurios sukėlė sunkumų.

Papildomi klausimai Nr.4 ir Nr.5:

žodiškai suformuluoti lygiagrečių linijų savybes;

Pateikite plokštumai statmenų linijų savybių žodinę formuluotę.

2.4. Pakvieskite mokinius žodžiu išspręsti problemą

Labiau paruoštoje klasėje papildomai pasiūlykite skaitiniais duomenimis išspręsti antrą uždavinio dalį.

2.5. Namų darbo uždavinio sprendimo teisingumo tikrinimas.

3. Tiesės ir plokštumos statmenumo ženklo tyrimas.

3.1. Prieš pradėdami studijuoti patį ženklą, atkreipkite studentų dėmesį į tai, kad praktiškai neįmanoma naudoti linijos ir plokštumos statmenumo apibrėžimo, nes neįmanoma patikrinti linijos statmenumo bet kuriai nurodytos plokštumos tiesei. . Ženklas padeda palengvinti užduotį.

Paskelbiama pamokos tema ir pagrindinis tikslas

Pamokos tema užrašoma į sąsiuvinį kartu su namų darbais.

3.2. Teoremos (ir brėžinio) įrodymas vykdomas etapais (4 skaidrė), studentai užsirašo užrašus į sąsiuvinius. Labiau pasirengusioje klasėje pateikiamas visas įrodinėjimo planas, kiekvieną įrodinėjimo punktą studentai pagrindžia savarankiškai, prireikus gali naudotis vadovėliu. Mažiau paruoštoje klasėje kiekvienas įrodymas aptariamas, o tada mokiniai atitinkamai užsirašo.

3.3. Tiems studentams, kurie greitai susidoroja su teoremos įrodymu, gali būti pateikta papildoma užduotis kortelėse:

„Įrodykite tiesės ir plokštumos statmenumo ženklą naudodami vektorius“

Greito ir sėkmingo sprendimo atveju studentas įrodo teoremą prie lentos. Jei pamokoje nerasite antrojo įrodymo, pakvieskite norinčius tai padaryti namuose

4. Įgūdžių lavinimas teorinių žinių pritaikymas sprendžiant problemas.

4.1. Norėdami iš pradžių įtvirtinti gebėjimą naudoti tiesės ir plokštumos statmenumo ženklą, pasiūlykite 1, 2 ir 3 uždavinius žodiniam sprendimui (atitinkamai 6, 7 ir 8 skaidrės).

Mažiau pasirengusioje klasėje 3 užduotį labiau patartina atlikti po rašytinio sprendimo Nr.127 iš vadovėlio.

11 skaidrė

5. Nuleisti pamokos santrauka. Siūlykite šiuos papildomus klausimus:

kas žino, kaip praktiškai patikrinti tiesės ir plokštumos statmenumą, kokie tam egzistuoja įrankiai (naudojant du trikampius, naudojant du lygius);

Kiek reikšminga tai, kad tiesės ir plokštumos statmenumo ženkle du susikerta tiesiai?

6. Įrašas namų darbų užduotis(3 skaidrė, pasirenkama kortelė su papildoma užduotimi).

Pristatymas tema: Tiesės ir plokštumos statmenumo testas

1 iš 24

Pristatymas tema: Tiesės ir plokštumos statmenumo ženklas

Skaidrė Nr.1

Skaidrės aprašymas:

2 skaidrė

Skaidrės aprašymas:

Pamokos tikslai: Šios pamokos medžiaga supažindina su tiesės ir plokštumos statmenumo ženklu bei statmenų tiesių ir plokštumos savybėmis. Mus supantis pasaulis pateikia daugybę tiesės ir plokštumos statmenumo pavyzdžių. Teisingai sumontuotas vertikalus stulpas yra statmenas įžeminimo plokštei. Patalpos sienų susikirtimo linijos statmenos grindų plokštumai. Statant pastatus, montuojant stulpus jų stabilumui, labai svarbu užtikrinti statmenumą žemės paviršiui. Tam yra specialūs statmenumo tikrinimo būdai, pagrįsti tiesės ir plokštumos statmenumo ženklu bei statmenų tiesių ir plokštumų savybėmis, kurias išnagrinėsime. Išstudijavę ankstesnės pamokos medžiagą, susipažinote su statmenų tiesių apibrėžimu ir savybėmis, su tiesės, statmenos plokštumai, apibrėžimu. Pakartokite šias medžiagas dar kartą. Tai padės teisingai atsakyti į testo klausimus, kurie tikrina jūsų žinias tema „Statmenos linijos“.

Skaidrė Nr.3

Skaidrės aprašymas:

Statmenos linijos Dvi erdvės linijos vadinamos statmenomis (abipusiomis statmenomis), jei kampas tarp jų yra 900. Ženklas ┴ naudojamas statmenumui nurodyti. Paveiksle tiesė m yra statmena tiesei n arba m┴n. Statmenų tiesių lema Jei viena iš dviejų lygiagrečių tiesių yra statmena trečiajai tiesei, tai kita tiesė yra statmena šiai tiesei. Simboliškai šią lemą galima parašyti taip

Skaidrė Nr.4

Skaidrės aprašymas:

Tiesė, statmena plokštumai Tiesė vadinama statmena plokštumai, jei ji yra statmena bet kuriai šios plokštumos tiesei. Ženklas ┴ naudojamas statmenumui nurodyti. Paveiksle pavaizduota tiesė a, statmena plokštumai a arba a┴α.

Skaidrė Nr.5

Skaidrės aprašymas:

Teorema apie dvi lygiagrečias tieses ir plokštumą Jei viena iš dviejų lygiagrečių tiesių yra statmena plokštumai, tai kita tiesė yra statmena šiai plokštumai. Simboliškai šią teoremą galima parašyti taip: Teorema apie dvi tieses, statmenas plokštumai Jei dvi tiesės yra statmenos plokštumai, tai jos lygiagrečios viena kitai. Simboliškai šią teoremą galima parašyti taip

Skaidrė Nr.6

Skaidrės aprašymas:

Statmens tiesei ir plokštumai ženklas.Tikriausiai kiekvienam yra tekę kasti futbolo vartų stulpus. Kartais net nepasiekdavo skersinio. Kaip svarbu buvo sumontuoti juostą taip, kad ji būtų statmena žemės paviršiui. Jei naudojate tiesės statmenumo plokštumai apibrėžimą, tuomet turėtumėte patikrinti juostos statmenumą kiekvienai futbolo aikštės tiesei. Ar galima apsiriboti mažesniu patikrinimų skaičiumi? Pasirodo, tai įmanoma. Tačiau vieno patikrinimo akivaizdžiai neužtenka. Jei duotoji tiesė yra statmena tik vienai plokštumos tiesei, tai ji nėra statmena pačiai plokštumai (3 pav.). Tai gali būti šioje plokštumoje. Jei tiesė yra statmena dviem susikertančioms tiesėms, esančioms plokštumoje, tai ji yra statmena pačiai plokštumai (4 pav.). Šis teiginys vadinamas tiesės ir plokštumos statmenumo ženklu ir suformuluotas teoremos forma. Taigi, norint įrengti vartų virpstą statmenai aikštelės plokštumai, užtenka patikrinti jo statmenumą pažiūrėjus į jį iš dviejų skirtingų, bet ne priešingų pusių.

Skaidrė Nr.7

Skaidrės aprašymas:

Teorema Jei tiesė yra statmena dviem susikertančioms tiesėms, esančioms plokštumoje, tai ji yra statmena šiai plokštumai. Tegu b┴q; b┴p; p a; qa; p ∩ q=O. Įrodykime, kad b┴a. Norėdami tai padaryti, turite įrodyti, kad tiesė b yra statmena bet kuriai (savavališkai) tiesei m plokštumoje a. Pirmiausia panagrinėkime atvejį, kai tiesė b eina per susikirtimo tašką O. Per tašką O nubrėžkime tiesę l, ​​lygiagrečią tiesei m. Tiesėje b pažymėkite taškus A ir B, esančius vienodu atstumu nuo taško O, ir plokštumoje a nubrėžkite tiesę, kuri kerta tieses p, l ir q atitinkamai taškuose P, L ir Q. Kadangi tiesės p ir q yra dvipusiai statmenai, tada AP = BP ir AQ = BQ. Todėl ∆APQ=∆BPQ (iš trijų pusių). Tada APL= BPL ir ∆ APL= ∆ BPL (iš dviejų pusių ir kampu). Tada AL=BL. Todėl ∆ALB yra lygiašonis, atkarpa LO yra mediana ir aukštis šiame trikampyje, AОL=900 ir b┴l. Nuo l || m, tada b┴m (pagal lemą statmenose tiesėse), tai yra, b┴a.

Skaidrė Nr.8

Skaidrės aprašymas:

Dabar panagrinėkime atvejį, kai tiesė a eina ne per tašką O, o a┴q; a┴p. Nubrėžkime tiesę per tašką O lygiagrečią tiesei a. Ši linija yra statmena tiesėms p ir q (pagal lemą statmenose tiesėse) ir todėl sutampa su tiese b. Kadangi b┴a ir b||a, tada a┴a (pagal teoremą apie dvi lygiagrečias tieses ir plokštumą). Teorema įrodyta. Simboliškai šią teoremą galima parašyti taip: Įrodykime dvi teoremas, pagrindžiančias plokštumos, einančios per tam tikrą tašką ir statmenos duotai tiesei, egzistavimą ir tiesės, einančios per nurodytą tašką ir statmenos tam tikrai plokštumai, egzistavimą. . Įrodant šias teoremas bus naudojamas tiesės ir plokštumos statmenumo ženklas.

Skaidrė Nr.9

Skaidrės aprašymas:

Tiesei statmena plokštuma Teorema Per bet kurį erdvės tašką eina plokštuma, statmena duotai tiesei ir, be to, tik viena. Šią tiesę pažymėkime raide a, o savavališką erdvės tašką – raide M. 1. Įrodykime, kad egzistuoja plokštuma, statmena tiesei a ir einanti per tašką M. Nubrėžkime dvi plokštumas per tašką M. tiesė a ir taip, kad plokštuma eitų per tašką M.. Plokštumoje per tašką M nubrėžiame tiesę p, statmeną tiesei a ir kertančią ją taške A. Plokštumoje nubrėžiame tiesę q , statmena tiesei a ir einanti per tašką A. Apsvarstykite plokštumą, einančią per tieses p ir q. Ši plokštuma yra statmena tiesei a (remiantis tiesės ir plokštumos statmenumu) ir eina per savavališką tašką M. Todėl tai yra norima plokštuma. Egzistavimas įrodytas.

Skaidrė Nr.10

Skaidrės aprašymas:

2. Įrodykime tokios plokštumos išskirtinumą. Atlikime įrodymą prieštaravimu. Tegul yra dvi plokštumos ir, einančios per tašką M ir statmenos tiesei a. Bet tada || . Bet plokštumos negali būti lygiagrečios viena kitai, nes turi bendrą tašką M. Todėl mūsų prielaida yra neteisinga ir yra tik viena plokštuma, einanti per savavališką erdvės tašką, statmeną duotai tiesei. Unikalumas įrodytas.

Skaidrė Nr.11

Skaidrės aprašymas:

Plokštumai statmenos tiesės teorema Per bet kurį erdvės tašką eina tiesė, statmena duotai plokštumai, ir tik viena. Šią plokštumą pažymėkime raide a, o savavališką erdvės tašką – raide M. 1. Įrodykime, kad egzistuoja tiesė, statmena plokštumai ir einanti per tašką M. Nubrėžkime tiesę b lėktuvas. Per tašką M nubrėžiame tiesei b statmeną plokštumą (tai galime padaryti remdamiesi ankstesne teorema apie tiesei statmeną plokštumą). Tegul c yra bendroji plokštumų ir linija. Nubrėžkime tiesę a per plokštumos tašką M, statmeną tiesei c. Tada linija a yra statmena dviem susikertančioms tiesėms, esančioms plokštumoje. Vadinasi, tiesė a yra statmena plokštumai a (remiantis tiesės ir plokštumos statmenumu). Todėl a yra norima tiesi linija. Egzistavimas įrodytas.

Skaidrė Nr.12

Skaidrės aprašymas:

2. Įrodykime tokios linijos išskirtinumą. Atlikime įrodymą prieštaravimu. Tegu yra dvi tiesės a ir a1, einančios per tašką M ir statmenos plokštumai a. Bet tada a||a1 (žr. teoremą apie dvi tieses, statmenas plokštumai). Bet tiesės a ir a1 negali būti lygiagrečios viena kitai, nes turi bendrą tašką M. Todėl mūsų prielaida yra neteisinga ir yra tik viena tiesė, einanti per savavališką erdvės tašką, statmeną duotai plokštumai. Unikalumas įrodytas.

Skaidrė Nr.13

Skaidrės aprašymas:

Įrodinėjimo problemų pavyzdžiai. Skaičiavimo uždavinių pavyzdžiai Pateikti: plokštuma (ABC), MV┴AB, MV┴BC, D(ABC). Įrodykite: ∆MBD yra stačiakampis. Įrodymas. MV┴AB, MV┴BC. Vadinasi, MV┴(ABC) (remiantis tiesės ir plokštumos statmenu). Tada MV┴BD (pagal apibrėžimą, tiesė, statmena plokštumai). Todėl DBM=900 ir ∆MBD yra stačiakampis, ką ir reikėjo įrodyti.

Skaidrė Nr.14

Skaidrės aprašymas:

Duota: ABCD – kvadratas, MA┴, ABCD. Įrodykite: BD┴MO. Įrodymas. MA┴, todėl MA┴ВD (pagal tiesės, statmenos plokštumai, apibrėžimą). ВD┴АО (pagal kvadrato savybę). Tada BD┴(AOM) (remiantis tiesės ir plokštumos statmenumu – BD yra statmena dviem šioje plokštumoje esančioms susikertančioms tiesėms AO ir MA). Vadinasi, BD┴MO (pagal apibrėžimą, tiesė, statmena plokštumai), kurią reikėjo įrodyti.

Skaidrės aprašymas:

Patikrinkite save. Statmenos linijos Parašėte sakinius, padalintus į dvi dalis. Pagalvokite, kurią parinktį turite pasirinkti, kad gautumėte tinkamą pasiūlymą. Įveskite pasirinktos parinkties numerį. Jei dvi tiesės yra lygiagrečios trečiajai tiesei, tada visos trys tiesės visada yra toje pačioje plokštumoje. tada jie kryžminasi vienas su kitu. tada jie yra lygiagrečiai vienas kitam. tada jie yra statmeni vienas kitam.

Skaidrė Nr.19

Skaidrės aprašymas:

Patikrinkite save. Statmenos linijos Parašėte sakinius, padalintus į dvi dalis. Pagalvokite, kurią parinktį turite pasirinkti, kad gautumėte tinkamą pasiūlymą. Įveskite pasirinktos parinkties numerį. Jei tiesė yra statmena vienai iš dviejų lygiagrečių plokštumų, tai ji priklauso kitai plokštumai. tada kita plokštuma nėra statmena duotai tiesei. tada jis yra statmenas kitai plokštumai. tada ji visada lygiagreti kitai plokštumai.

Skaidrės aprašymas:

Skaidrė Nr.24

Skaidrės aprašymas:

Namų darbai: L.S. Atanasyan ir kt.. Geometrija. Vadovėlis 10-11 vidurinės mokyklos klasėms. 1. 129 pratimas b) Tiesė AM yra statmena kvadrato ABCD plokštumai, kurio įstrižainės susikerta taške O. Įrodykite, kad MO^MD. 2. 131 pratimas Tetraedre ABCD taškas M yra briaunos BC vidurys, AB=AC, DB=DC. Įrodykite, kad trikampio ADM plokštuma yra statmena tiesei BC. 3. 134 pratimas Įrodykite, kad visos tiesės, einančios per duotąjį tiesės a tašką M ir statmenos šiai tiesei, yra plokštumoje, kertančioje tašką M ir statmenoje tiesei a. 4. 137 pratimas Įrodykite, kad per dvi viena kitai statmenas pasvirimo linijas eina kitai tiesei statmena plokštuma.