Mis on y tuletis? Tuletisinstrumentide arvutamise reeglid

Tuletisarvutus- üks olulisemaid tehteid diferentsiaalarvutuses. Allpool on tabel lihtsate funktsioonide tuletiste leidmiseks. Keerulisemate diferentseerimisreeglite kohta vaadake teisi õppetükke:

• Eksponent- ja logaritmfunktsioonide tuletiste tabel

Kasutage etteantud valemeid võrdlusväärtustena. Need aitavad lahendada diferentsiaalvõrrandeid ja ülesandeid. Pildil on lihtfunktsioonide tuletiste tabelis "petuleht" tuletise leidmise põhijuhtudest kasutamiseks arusaadaval kujul, selle kõrval iga juhtumi kohta selgitused.

Lihtfunktsioonide tuletised

1. Arvu tuletis on null
с´ = 0
Näide:
5´ = 0

Selgitus:
Tuletis näitab kiirust, millega funktsiooni väärtus muutub selle argumendi muutumisel. Kuna arv ei muutu ühelgi tingimusel, on selle muutumise kiirus alati null.

2. Muutuja tuletis võrdne ühega
x´ = 1

Selgitus:
Argumendi (x) iga suurendamisega ühe võrra suureneb funktsiooni väärtus (arvutuse tulemus) sama palju. Seega on funktsiooni y = x väärtuse muutumise kiirus täpselt võrdne argumendi väärtuse muutumise kiirusega.

3. Muutuja ja teguri tuletis on võrdne selle teguriga
сx´ = с
Näide:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Selgitus:
Sel juhul muutub iga kord, kui funktsiooni argument ( X) selle väärtus (y) suureneb Koosüks kord. Seega on funktsiooni väärtuse muutumise kiirus argumendi muutumise kiiruse suhtes täpselt võrdne väärtusega Koos.

Kust see järeldub
(cx + b)" = c
see tähendab, et lineaarfunktsiooni y=kx+b diferentsiaal on võrdne sirge (k) kaldega.

4. Muutuja moodultuletis võrdne selle muutuja ja selle mooduli jagatisega
|x|"= x / |x| eeldusel, et x ≠ 0
Selgitus:
Kuna muutuja tuletis (vt valem 2) on võrdne ühega, erineb mooduli tuletis ainult selle poolest, et funktsiooni muutumise kiiruse väärtus muutub lähtepunkti ületamisel vastupidiseks (proovi joonistada graafik funktsiooni y = |x| ja vaadake ise. See on täpselt see väärtus ja tagastab avaldise x / |x|. Kui x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - üks. See tähendab, et muutuja x negatiivsete väärtuste korral väheneb funktsiooni väärtus iga argumendi suurenemisega täpselt sama väärtuse võrra ja positiivsete väärtuste korral see vastupidi suureneb, kuid täpselt sama väärtuse võrra. .

5. Muutuja tuletis astmest võrdne selle astme arvu ja muutuja korrutisega astmega, mida on vähendatud ühe võrra
(x c)"= cx c-1 tingimusel, et x c ja cx c-1 on defineeritud ja c ≠ 0
Näide:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Valemi meeldejätmiseks:
Liigutage muutuja astet tegurina allapoole ja seejärel vähendage astet ühe võrra. Näiteks x 2 puhul - need kaks olid x-st ees ja siis andis vähendatud võimsus (2-1 = 1) meile lihtsalt 2x. Sama juhtus ka x 3 puhul - “liigutame” kolmiku alla, vähendame seda ühe võrra ja kuubi asemel on ruut, see tähendab 3x 2. Natuke "ebateaduslik", kuid väga lihtne meelde jätta.

6.Murru tuletis 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Näide:
Kuna murdosa saab kujutada negatiivse astmeni tõstmisena
(1/x)" = (x -1)", siis saate rakendada tuletiste tabeli 5. reegli valemit
(x -1)" = -1x -2 = -1 / x 2

7. Murru tuletis suvalise astme muutujaga nimetajas
(1/x c)" = - c / x c+1
Näide:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Juure tuletis(ruutjuure all oleva muutuja tuletis)
(√x)" = 1 / (2√x) või 1/2 x -1/2
Näide:
(√x)" = (x 1/2)" tähendab, et saate rakendada 5. reegli valemit
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Suvalise astme juure all oleva muutuja tuletis
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

Selles tunnis õpime rakendama valemeid ja eristamise reegleid.

Näited. Leia funktsioonide tuletised.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Reegli rakendamine I, valemid 4, 2 ja 1. Saame:

y’=7x6 +5x4-4x3 +3x2-2x+1.

2. y=3x6 -2x+5. Lahendame sarnaselt, kasutades samu valemeid ja valemit 3.

y’=3∙6x5-2=18x5-2.

Reegli rakendamine I, valemid 3, 5 Ja 6 Ja 1.

Reegli rakendamine IV, valemid 5 Ja 1 .

Viiendas näites reegli järgi I summa tuletis võrdub tuletiste summaga ja just leidsime 1. liikme tuletise (näide 4 ), seetõttu leiame tuletised 2 Ja 3 tingimused ja 1. jaoks summand saame kohe tulemuse kirjutada.

Teeme vahet 2 Ja 3 terminid valemi järgi 4 . Selleks teisendame nimetajates oleva kolmanda ja neljanda astme juured negatiivsete astendajatega astmeteks ja seejärel vastavalt 4 valem, leiame astmete tuletised.

Vaadake seda näidet ja tulemust. Kas saite mustri kinni? Hästi. See tähendab, et meil on uus valem ja saame selle lisada oma tuletiste tabelisse.

Lahendame kuuenda näite ja tuletame teise valemi.

Kasutame reeglit IV ja valem 4 . Vähendame saadud murde.

Vaatame seda funktsiooni ja selle tuletist. Muidugi mõistate mustrit ja olete valmis valemit nimetama:

Õppige uusi valemeid!

Näited.

1. Leia argumendi juurdekasv ja funktsiooni y= juurdekasv x 2, kui argumendi algväärtus oli võrdne 4 ja uus - 4,01 .

Lahendus.

Uus argumendi väärtus x=x 0 +Δx. Asendame andmed: 4.01=4+Δх, siit ka argumendi juurdekasv Δх=4,01-4 = 0,01. Funktsiooni juurdekasv on definitsiooni järgi võrdne funktsiooni uue ja eelmiste väärtuste erinevusega, st. Δy=f (x 0 + Δx) - f (x 0). Kuna meil on funktsioon y=x2, See Δу=(x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 = (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 = 2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Vastus: argumentide juurdekasv Δх=0,01; funktsiooni juurdekasv Δу=0,0801.

Funktsiooni juurdekasvu võib leida erinevalt: Δy=y (x 0 + Δx) -y (x 0) = y (4,01) -y (4) = 4,01 2 - 4 2 = 16,0801-16 = 0,0801.

2. Leia funktsiooni graafiku puutuja kaldenurk y=f(x) punktis x 0, Kui f "(x 0) = 1.

Lahendus.

Tuletise väärtus puutepunktis x 0 ja on puutuja nurga puutuja väärtus (tuletise geomeetriline tähendus). Meil on: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, sest tg45° = 1.

Vastus: selle funktsiooni graafiku puutuja moodustab nurga Ox-telje positiivse suunaga 45°.

3. Tuletage funktsiooni tuletise valem y=x n.

Eristumine on funktsiooni tuletise leidmise toiming.

Tuletisi leidmisel kasutage valemeid, mis tuletati tuletise definitsiooni alusel, samamoodi nagu tuletasime tuletise astme valemi: (x n)" = nx n-1.

Need on valemid.

Tuletisinstrumentide tabel Verbaalsete sõnastuste hääldamisel on seda lihtsam meelde jätta:

1. Konstantse suuruse tuletis on null.

2. X algarvu on võrdne ühega.

3. Konstantteguri saab tuletise märgist välja võtta.

4. Astme tuletis on võrdne selle astme eksponendi korrutisega sama alusega astme võrra, kuid eksponent on ühe võrra väiksem.

5. Juure tuletis võrdub ühega, mis on jagatud kahe võrdse juurega.

6. Ühe jagatuna x-ga tuletis võrdub miinus üks jagatuna x-ga ruudus.

7. Siinuse tuletis on võrdne koosinusega.

8. Koosinuse tuletis on võrdne miinussiinusega.

9. Puutuja tuletis võrdub ühega, mis on jagatud koosinuse ruuduga.

10. Kootangensi tuletis on miinus üks jagatuna siinuse ruuduga.

Me õpetame diferentseerimisreeglid.

1. Algebralise summa tuletis on võrdne terminite tuletiste algebralise summaga.

2. Korrutise tuletis võrdub esimese ja teise teguri tuletise korrutisega pluss esimese teguri ja teise teguri tuletis.

3. Tuletis "y" jagatud "ve"-ga võrdub murdosaga, milles lugeja on "y algarvu korrutis "ve" miinus "y korrutatud ve-ga" ja nimetaja on "ve ruudus".

4. Valemi erijuhtum 3.

Õpime koos!

Lehekülg 1/1 1

Füüsikaliste ülesannete või näidete lahendamine matemaatikas on täiesti võimatu ilma tuletise ja selle arvutamise meetodite tundmiseta. Tuletis on matemaatilise analüüsi üks olulisemaid mõisteid. Otsustasime tänase artikli pühendada sellele põhiteemale. Mis on tuletis, mis on selle füüsikaline ja geomeetriline tähendus, kuidas arvutada funktsiooni tuletist? Kõik need küsimused saab ühendada üheks: kuidas tuletist aru saada?

Tuletise geomeetriline ja füüsikaline tähendus

Olgu funktsioon f(x) , määratud teatud intervalliga (a, b) . Sellesse intervalli kuuluvad punktid x ja x0. Kui x muutub, muutub funktsioon ise. Argumendi muutmine – selle väärtuste erinevus x-x0 . See erinevus on kirjutatud kui delta x ja seda nimetatakse argumendi juurdekasvuks. Funktsiooni muutus või juurdekasv on funktsiooni väärtuste erinevus kahes punktis. Tuletise määratlus:

Funktsiooni tuletis punktis on antud punktis oleva funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piir, kui viimane kipub olema null.

Muidu võib selle kirjutada nii:

Mis mõtet on sellist piiri leida? Ja siin on, mis see on:

funktsiooni tuletis punktis on võrdne OX-telje vahelise nurga puutujaga ja funktsiooni graafiku puutujaga antud punktis.

Tuletise füüsiline tähendus: tee tuletis aja suhtes on võrdne sirgjoonelise liikumise kiirusega.

Tõepoolest, kõik teavad kooliajast peale, et kiirus on kindel tee x=f(t) ja aeg t . Keskmine kiirus teatud aja jooksul:

Et teada saada liikumiskiirust ajahetkel t0 peate arvutama piirangu:

Esimene reegel: määrake konstant

Konstandi saab tuletismärgist välja võtta. Pealegi tuleb seda teha. Matemaatika näidete lahendamisel võtke seda reeglina - Kui saate väljendit lihtsustada, siis kindlasti lihtsustage seda .

Näide. Arvutame tuletise:

Teine reegel: funktsioonide summa tuletis

Kahe funktsiooni summa tuletis on võrdne nende funktsioonide tuletiste summaga. Sama kehtib ka funktsioonide erinevuse tuletise kohta.

Me ei tõesta seda teoreemi, vaid vaatleme pigem praktilist näidet.

Leia funktsiooni tuletis:

Kolmas reegel: funktsioonide korrutise tuletis

Kahe diferentseeruva funktsiooni korrutise tuletis arvutatakse järgmise valemiga:

Näide: leidke funktsiooni tuletis:

Lahendus:

Siin on oluline rääkida keeruliste funktsioonide tuletiste arvutamisest. Kompleksfunktsiooni tuletis on võrdne selle funktsiooni tuletise korrutisega vaheargumendi ja vahepealse argumendi tuletisega sõltumatu muutuja suhtes.

Ülaltoodud näites kohtame väljendit:

Sel juhul on vahepealne argument 8x viienda astmeni. Sellise avaldise tuletise arvutamiseks arvutame esmalt välisfunktsiooni tuletise vaheargumendi suhtes ja seejärel korrutame vaheargumendi enda tuletisega sõltumatu muutuja suhtes.

Neljas reegel: kahe funktsiooni jagatise tuletis

Valem kahe funktsiooni jagatise tuletise määramiseks:

Püüdsime nullist rääkida mannekeenide derivaatidest. See teema pole nii lihtne, kui tundub, seega hoiatage: näidetes on sageli lõkse, seega olge tuletisinstrumentide arvutamisel ettevaatlik.

Kõigi selle ja muude teemade kohta tekkivate küsimustega võite pöörduda üliõpilasteeninduse poole. Lühikese ajaga aitame teil lahendada kõige keerulisema testi ja mõista ülesandeid, isegi kui te pole kunagi varem tuletisarvutusi teinud.

Tabeli kõige esimese valemi tuletamisel lähtume punktis tuletisfunktsiooni definitsioonist. Võtame kuhu x- mis tahes reaalarv, see tähendab x– suvaline arv funktsiooni määratluspiirkonnast. Kirjutame üles funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiri:

Tuleb märkida, et piirmärgi all saadakse avaldis, mis ei ole nulliga jagatud nulli määramatus, kuna lugeja ei sisalda lõpmata väikest väärtust, vaid täpselt nulli. Teisisõnu, konstantse funktsiooni juurdekasv on alati null.

Seega konstantse funktsiooni tuletison võrdne nulliga kogu määratluspiirkonna ulatuses.

Võimsusfunktsiooni tuletis.

Astmefunktsiooni tuletise valemil on vorm , kus eksponent lk- mis tahes reaalarv.

Tõestame esmalt naturaalse astendaja valemit, see tähendab for p = 1, 2, 3, …

Kasutame tuletise määratlust. Kirjutame üles võimsusfunktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piir:

Lugeja avaldise lihtsustamiseks pöördume Newtoni binoomvalemi poole:

Seega

See tõestab loomuliku astendaja astmefunktsiooni tuletise valemit.

Eksponentfunktsiooni tuletis.

Esitame tuletisvalemi tuletamise definitsiooni põhjal:

Oleme jõudnud ebakindluseni. Selle laiendamiseks tutvustame uut muutujat ja aadressil . Siis . Viimases üleminekus kasutasime uuele logaritmilisele alusele ülemineku valemit.

Asendame algse limiidi:

Kui meenutada teist tähelepanuväärset piiri, jõuame eksponentsiaalfunktsiooni tuletise valemini:

Logaritmilise funktsiooni tuletis.

Tõestame logaritmilise funktsiooni tuletise valemit kõigi jaoks x määratluspiirkonnast ja kõigist aluse kehtivatest väärtustest a logaritm Tuletise definitsiooni järgi on meil:

Nagu märkasite, viidi tõestuse käigus teisendused läbi logaritmi omadusi kasutades. Võrdsus on teise tähelepanuväärse piiri tõttu tõsi.

Trigonomeetriliste funktsioonide tuletised.

Trigonomeetriliste funktsioonide tuletiste valemite tuletamiseks peame meelde tuletama mõned trigonomeetria valemid ja ka esimese tähelepanuväärse piiri.

Siinusfunktsiooni tuletise definitsiooni järgi, mis meil on .

Kasutame siinuste erinevuse valemit:

Jääb üle pöörduda esimese tähelepanuväärse piiri poole:

Seega funktsiooni tuletis sin x Seal on cos x.

Koosinuse tuletise valem on tõestatud täpselt samamoodi.

Seega funktsiooni tuletis cos x Seal on – sin x.

Tuletame tangensi ja kotangensi tuletiste tabeli valemid, kasutades tõestatud diferentseerimisreegleid (murru tuletis).

Hüperboolsete funktsioonide tuletised.

Diferentseerimisreeglid ja eksponentsiaalfunktsiooni tuletise valem tuletiste tabelist võimaldavad tuletada hüperboolse siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi tuletisi valemeid.

Pöördfunktsiooni tuletis.

Et vältida segadust esitlemisel, tähistame alaindeksis funktsiooni argumendi, mille abil eristamist teostatakse, st see on funktsiooni tuletis f(x) Kõrval x.

Nüüd sõnastame reegel pöördfunktsiooni tuletise leidmiseks.

Laske funktsioonidel y = f(x) Ja x = g(y) vastastikku pöördvõrdeline, määratletud vastavalt intervallidel ja. Kui mingis punktis on funktsiooni lõplik nullist erinev tuletis f(x), siis punktis on pöördfunktsiooni lõplik tuletis g(y) ja . Teises postituses .

Seda reeglit saab mis tahes jaoks ümber sõnastada x intervallist , siis saame .

Kontrollime nende valemite kehtivust.

Leiame naturaallogaritmi pöördfunktsiooni (Siin y on funktsioon ja x- argument). Olles lahendanud selle võrrandi jaoks x, saame (siin x on funktsioon ja y– tema argument). See on, ja vastastikku pöördfunktsioonid.

Tuletisinstrumentide tabelist näeme seda Ja .

Veenduge, et pöördfunktsiooni tuletiste leidmise valemid viivad meid samadele tulemustele:

Tuletise arvutamist leidub sageli ühtse riigieksami ülesannetes. Sellel lehel on tuletisinstrumentide leidmise valemite loend.

Eristamise reeglid

1. (k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Kompleksfunktsiooni tuletis. Kui y=F(u) ja u=u(x), siis funktsiooni y=f(x)=F(u(x)) nimetatakse x kompleksfunktsiooniks. Võrdne y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Implitsiitse funktsiooni tuletis. Funktsiooni y=f(x) nimetatakse kaudseks funktsiooniks, mis on defineeritud seosega F(x,y)=0, kui F(x,f(x))≡0.
6. Pöördfunktsiooni tuletis. Kui g(f(x))=x, siis funktsiooni g(x) nimetatakse funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks.
7. Parameetriliselt määratletud funktsiooni tuletis. Olgu x ja y määratud muutuja t funktsioonidena: x=x(t), y=y(t). Nad ütlevad, et y=y(x) on parameetriliselt määratletud funktsioon vahemikus x∈ (a;b), kui sellel intervallil saab võrrandit x=x(t) väljendada kujul t=t(x) ja funktsiooni y=y(t(x))=y(x).
8. Võimsuse eksponentsiaalfunktsiooni tuletis. Leitakse, võttes logaritmid loomuliku logaritmi alusele.

Soovitame teil link salvestada, kuna seda tabelit võib vaja minna mitu korda.