Tako imenovane enačbe vrst, kjer je neznano v indikatorju in na dnu stopnje.

Določite lahko popolnoma jasen algoritem za reševanje enačbe obrazca. To storiti, morate paziti na dejstvo, da oh) Ni enaka nič, enote in minus enote enakosti stopinj z enakimi bazami (ali pozitivna ali negativna) je možno le, če so kazalniki enaki tistim - obstajajo vse korenine enačbe, bodo korenine enačbe f (x) \u003d g (x) Nasprotno odobritev je nepravilno oh)< 0 in delne vrednote f (x) in g (x)izrazi oh) f (x) in

oh) g (x) izgubi pomen. Potem - se pri premikanju od f (x) \u003d g (x) (ko se lahko pojavijo tuje korenine, ki jih je treba izključiti s preskušanjem na izvorni enačbi. in primeri a \u003d 0, A \u003d 1, A \u003d -1treba je razmisliti ločeno.

Torej, za popolno rešitev enačbe, obravnavamo primere:

a (x) \u003d o f (x) in g (x) Bo s pozitivnimi številkami, potem to odločitev. V nasprotnem primeru ne

a (x) \u003d 1. Korenine te enačbe so korenine in začetna enačba.

a (x) \u003d -1. Če, z vrednostjo X, ki izpolnjuje to enačbo, f (x) in g (x) To so celo število enake paritete (ali oboje ali obojega), nato ta odločitev. V nasprotnem primeru ne

Ko in rešite enačbo f (x) \u003d g (x) in nadomešča rezultate, pridobljene v začetno enačbo, predelujejo tuje korenine.

Primeri reševanja indikativnih enačb.

Primer številka 1.

1) X - 3 \u003d 0, X \u003d 3. Ker 3\u003e 0, in 3 2\u003e 0, nato X 1 \u003d 3 je raztopina.

2) X - 3 \u003d 1, X2 \u003d 4.

3) X - 3 \u003d -1, X \u003d 2. Oba kazalca sta celo. Ta rešitev je x 3 \u003d 1.

4) X - 3? 0 in x? ± 1. x \u003d x 2, x \u003d 0 ali x \u003d 1. z x \u003d 0, (-3) 0 \u003d (-3) 0 je raztopina x 4 \u003d 0. z x \u003d 1, (-2) 1 \u003d (-2) 1 - True ta raztopina x 5 \u003d 1.

Odgovor: 0, 1, 2, 3, 4.

Primer številka 2.

Po definiciji aritmetičnega kvadrata korena: X - 1? 0, x? Ena.

1) X - 1 \u003d 0 ali X \u003d 1, \u003d 0, 0 0 To ni rešitev.

2) X - 1 \u003d 1 x 1 \u003d 2.

3) X - 1 \u003d -1 x 2 \u003d 0 ni primeren za ...

D \u003d (-2) - 4 * 1 * 5 \u003d 4 - 20 \u003d -16 - Brez korenin.

Ta lekcija je zasnovana za tiste, ki šele začenjajo preučiti okvirne enačbe. Kot vedno, začnimo z definicijo in najenostavnejšimi primeri.

Če ste prebrali to lekcijo, sumim, da že imate vsaj najmanjšo predstavo o najpreprostejši enačbi - linearni in kvadrat: $ 56x-11 \u003d 0 $; $ ((x) ^ (2)) + 5x + 4 \u003d 0 $; $ ((x) ^ (2)) - 12x + 32 \u003d 0 $, itd. Da bi lahko rešili takšne strukture, je nujno potrebno, da se v temo ne govorimo.

Torej, okvirne enačbe. Takoj bom dal nekaj primerov:

[((2) ^ (x)) \u003d 4; quad (((5) ^ (2x-3)) \u003d frac (1) (25); quad ((9) ^ (x)) \u003d \\ t - 3 \\ t

Nekateri od njih se morda zdijo bolj zapleteni, nekateri - nasprotno, preveč preprosto. Toda vse, ki združujejo eno pomembno funkcijo: v svojih evidencah je okvirna funkcija $ f levo (x desno) \u003d ((a) ^ (x)) $. Tako uvajamo opredelitev:

Okvirna enačba je vsaka enačba, ki vsebuje okvirno funkcijo, tj. Izraz tipa $ ((a) ^ (x)) $. Poleg te funkcije lahko takšne enačbe vsebujejo druge algebrske modele - polinome, korenine, trigonometrija, logaritmi itd.

Oh no. Definirano ugotovljeno. Zdaj je vprašanje: kako rešiti vse to sranje? Odgovor je istočasno preprost in zapleten.

Začnimo z dobrimi novicami: V vaših lastnih izkušnjah lahko razredi s številnimi učenci rečemo, da so večina izmed njih indikativne enačbe veliko lažje od istih logaritmov in bolj to trigonometrija.

Vendar pa obstajajo tudi slabe novice: Včasih je "navdih" nalog za vse vrste učbenikov in izpitov, njihovi vnetni možgani pa začnejo izdajati takšne brutalne enačbe, da postane problematična ne le študentom - celo mnogi učitelji se držijo takšnih nalog.

Vendar pa ne bomo žalostni. In nazaj na tiste tri enačbe, ki so bile predstavljene na samem začetku pripovedi. Poskusimo rešiti vsakega od njih.

Prva enačba: $ ((2) ^ (x)) \u003d $ 4. No, v kakšnem obsegu morate zgraditi številko 2, da dobite številko 4? Verjetno v drugem? Konec koncev, $ ((2) ^ (2)) \u003d 2 cdot 2 \u003d 4 $ - in smo dobili pravo numerično enakost, tj. Res $ x \u003d $ 2. Hvala, SKP, toda ta enačba je bila tako preprosta, da bi celo rešil mačko. :)

Poglejmo naslednjo enačbo:

[(5) ^ (2x-3)) \u003d frac (1) (25) \\ _ \\ t

In tukaj je že malo težja. Mnogi učenci vedo, da je $ ((5) ^ (2)) \u003d $ 25 je migracijska tabela. Nekateri sumijo tudi, da je $ ((5) ^ (- 1)) \u003d frac (1) (5) $ je v bistvu opredelitev negativnih stopinj (po analogiji z $ formulo ((A) ^ (- n)) \u003d Frac (1) (((a) ^ (n))) $).

Nazadnje, samo priljubljene ugibajo, da se ta dejstva lahko združijo in na izhodu, da dobijo naslednji rezultat:

[Frac (1) (25) \u003d frac (1) (((5) ^ (2))) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\ _ \\ t

Tako bo naša začetna enačba ponovno napisana na naslednji način:

[((5) ^ (2x-3)) \u003d frac (1) (25) pravi prav ((5) ^ (2x-3)) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\ t

Toda to je že precej rešeno! Na levi enačbi je okvirna funkcija, pravica v enačbi je okvirna funkcija, nič, razen če niso več nikjer. Zato je mogoče "zavrzite" temelje in neumno izenačiti kazalnike:

Prejela najpreprostejšo linearno enačbo, ki jo bo vsak študent odločil dobesedno v nekaj vrsticah. No, v štirih progah:

[Začetek (poravnava) & 2x-3 \u003d -2 \\\\ \u003d 3-2-2-2-2-2 \u003d 1 \\\\ & X \u003d Frac (1) (2) \\ t

Če ne razumete, kaj se je zdaj zgodilo v zadnjih štirih vrsticah - se prepričajte, da se vrnete na temo "Linearne enačbe" in jo ponovite. Ker je brez jasnega asimilacije te teme prezgodaj za okvirne enačbe.

[((9) ^ (x)) \u003d - 3 \\ _ \\ t

No, kako rešiti to? Prva misel: $ 9 \u003d 3 CDOT 3 \u003d (((3) ^ (2)) $, zato se lahko začetna enačba ponovno napisana tako:

[((levo ((((((3) ^ (2)) desno)) ^ (x)) \u003d - 3 \\ _ \\ t

Potem se spomnite, da ko se stopnja dvigne v diplomo, so kazalniki spremenljiv

[((levo (((((3) ^ (2)) desno)) ^ (X)) \u003d ((3) ^ (2x)) Usnjarrow ((3) ^ (2x)) \u003d - ((\\ t 3) ^ (1)) \\ t

[Začetek (poravnan) & 2x \u003d -1 \\\\1 \u003d - Frac (1) (2) \\ t

In tukaj za takšno odločitev bomo pošteno zaslužili dva. Za Mi s pomirjevanjem Pokemona je poslal znak "minus", obrnjen proti prvih treh, do stopnje te trojke. In tudi to je nemogoče. In zato. Oglejte si različne stopnje trojke:

[Začetek (matrika) ((3) ^ (1)) \u003d 3 ° ((3) ^ (- 1)) \u003d frac (1) (3) in ((3) ^ (Frac (1) (2)) \u003d SQRT (3) ((3) ^ (2)) \u003d 9 Δ (3) ^ (- 2)) \u003d frac (1) (9) in ((3) ^ ( Frac (1) (3))) \u003d SQRT (3) \\ t (3) ^ (3)) \u003d 27 ° C ((3) ^ (- 3)) \u003d frac (1) (27) \\ t & (3) ^ (- frac (1) (2))) \u003d frac (1) (sqrt (3)) \\ t

Z izdelavo tega znaka, pravkar nisem izkrivil: in preučil pozitivne stopnje, in negativno, in celo delno ... Torej, kje je vsaj eno negativno število? Njegova ne! In ne more biti, ker je okvirna funkcija $ y \u003d ((((a) ^ (x)) $, prvič, vedno potrebujejo samo pozitivne vrednosti (koliko enot se ne pomleti ali ne dostavijo na dvakrat - tam bo Bodite pozitivno število), in drugič, osnova takšne funkcije je številka $ A $ - po definiciji je pozitivno število!

No, kako potem rešiti enačbo $ ((9) ^ (x)) \u003d - $ 3? Toda na noben način: Ni korenin. In v tem smislu so okvirne enačbe zelo podobne trgu - morda ne bodo korenine. Če pa v kvadratnih enačbah, se število korenin določi zaradi diskriminantnih (diskriminantnih pozitivnih - 2 korenin, negativne - brez korenin), potem je vse odvisno od tega, kaj je vredno pravice do znaka za enakost.

Tako smo oblikovali ključni zaključek: najpreprostejša indikativna enačba tipa $ ((A) ^ (x)) \u003d B $ ima koren in samo če $ B GT 0 $. Poznavanje tega preprostega dejstva, lahko preprosto določite: obstaja korena enačba, predlagana za vas ali ne. Ti. Je vredno rešiti ali takoj zapisati, da ni korenin.

To znanje nam bo še vedno večkrat pomagalo, ko boste morali rešiti bolj zapletene naloge. Medtem pa so besedila dovolj - čas je, da preučimo glavni algoritem za reševanje okvirnih enačb.

Kako rešiti eksponentne enačbe

Torej, oblikovamo nalogo. Treba je rešiti okvirno enačbo:

[((a) ^ (x)) \u003d b, quad a, b gt 0 \\ t

Glede na "naivni" algoritem, s katerim imamo prej, je treba predstaviti številko $ B $ kot stopnjo $ $ $:

Poleg tega, če bo vsak izraz namesto $ x $ spremenljivka, dobimo novo enačbo, ki jo je mogoče rešiti že. Na primer:

[Začetek (poravnan) in ((2) ^ (x)) \u003d 8 pravicarrow ((2) ^ (x)) \u003d ((2) ^ (3)) pravica X \u003d 3; & ((3) ^ (- x)) \u003d 81 pravicarrow ((3) ^ (- x)) \u003d ((3) ^ (4)) pravica -x \u003d 4 pravica X \u003d -4; & (5) ^ (2x)) \u003d 125 pravicarror ((5) ^ (2x)) \u003d ((5) ^ (3)) pravica 2x \u003d 3 pravica X \u003d \\ tPrac (3) (3) \\ t 2). Konec (poravnava) \\ t

In čudno zadostno, ta shema deluje v približno 90% primerov. In potem s preostalim delom 10%? Preostalih 10% je nekoliko "shizofrenične" indikativne enačbe obrazca:

[((2) ^ (x)) \u003d 3; quad ((5) ^ (x)) \u003d 15; quad ((4) ^ (2x)) \u003d 11 \\ _ \\ t

No, v kakšnem obsegu morate zgraditi 2, da bi dobili 3? Prvič? In tukaj ni: $ ((2) ^ (1)) \u003d 2 $ - ni dovolj. V drugem? Prav tako ni: $ ((2) ^ (2)) \u003d $ 4 - malo preveč. In v kateri potem?

Poznavanje študentov, ki so že verjetno uganili: V takih primerih, ko "lepo" ni mogoče rešiti, "težke topništvo" - logaritmi so povezani. Naj vas spomnim, da je s pomočjo logaritmov, lahko vsaka pozitivna številka predstavlja kot stopnjo katerega koli drugega pozitivnega števila (razen enega):

Ne pozabite na to formulo? Ko povem svojim učencem o logaritmu, ga vedno opozarjam: ta formula (to je glavna logaritmična identiteta ali, če vam je všeč, bo definicija logaritma) lovila že zelo dolgo časa in "pop up" v najbolj Nepričakovana mesta. No, pojavi se. Poglejmo našo enačbo in za to formulo:

[Začetek (poravnan) in ((2) ^ (x)) \u003d 3 \\ _ \u003d ((((((b) ^ (((dnevnik) _ (b)) a)) \\\\ R

Če predpostavimo, da je $ A \u003d $ 3 naša prvotna številka, ki je vredna pravice, in $ B \u003d 2 $ je najbolj osnove okvirne funkcije, ki ji želimo pripeljati pravi del, da bomo dobili naslednje:

[Začetek (poravnava) & a \u003d (((b) ^ (((dnevnik) _ (b)) a)) pravica 3 \u003d ((((2) ^ ((dnevnik) _ (2)) 3)); & (2) ^ (x)) \u003d 3 pravicarrow ((2) ^ (x)) \u003d ((((2) ^ (((dnevnik) _ (2)) 3)) pravica X \u003d \\ t ((dnevnik) _ (2)) 3. Konec (poravnava) \\ t

Prejel je malo čudnega odgovora: $ x \u003d ((dnevnik) _ (2)) $ 3. V kakšni drugi nalogi bi se mnogi smejali v takem odgovoru in začeli ponovno spremljati svojo rešitev: Nenadoma je prišlo do napake? Pohitil sem vas, da vam referiram: Ni napake ni tukaj, logaritem pa v koreninah okvirnih enačb je popolnoma tipična situacija. Tako se navadite. :)

Zdaj se odločimo po analogiji preostalih dveh enačb:

[Začetek (poravnava) in ((5) ^ (x)) \u003d 15 pravi prav ((5) ^ (x)) \u003d ((5) ^ (((dnevnik) _ (5)) 15)) Pravica X \u003d ((dnevnik) _ (5)) 15; Δ ((4) ^ (2x)) \u003d 11 pravicarrow ((4) ^ (2x)) \u003d ((4) ^ (((dnevnik) _ (4)) 11)) Pravica 2x \u003d (\\ t (Lunding) _ (4)) 11 Pravica X \u003d frac (1) (2) ((dnevnik) _ (4)) 11. Konec (poravnava) \\ t

To je vse! Mimogrede, zadnji odgovor je mogoče napisati drugače:

To smo naredili multiplikator v argument logaritma. Toda nihče nas ne preprečuje, da bi ta multiplikator na tla:

V tem primeru so vse tri možnosti pravilne - to so preprosto različne oblike snemanja iste številke. V kateri se odločite in zapisati v tej odločbi - rešiti samo vas.

Tako smo se naučili, kako rešiti vse okvirne enačbe tipa $ ((a) ^ (x)) \u003d B $, kjer so številke $ in $ B $ strogo pozitivne. Vendar pa je ostra resničnost našega sveta takšna, da se bodo takšne preproste naloge srečale zelo in zelo redko. Veliko pogosteje boste naleteli na nekaj takega:

[Začetek (poravnan) in ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x - 1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11; & (7) ^ (x + 6)) CDOT ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); & (100) ^ (x - 1)) CDOT ((2,7) ^ (1-X)) \u003d 0,09. Konec (poravnava) \\ t

No, kako rešiti to? Ali je mogoče rešiti? In če je tako, kako?

Brez panike. Vse te enačbe hitro in preprosto zmanjšajo preproste formule, ki smo jih že upoštevali. Potrebno je, da se spomnite nekaj tehnik od potek algebre. In seveda, tukaj ni nikjer brez pravil za delo s stopnjami. O tem vam bom povedal. :)

Preoblikovanje okvirnih enačb

Prva stvar, ki si jo je treba zapomniti, je: vsaka okvirna enačba, ne glede na to, kako težko je, vseeno, bi bilo treba zmanjšati na najenostavnejše enačbe - s tem smo že razmišljali in ki jih vemo, kako rešiti. Z drugimi besedami, shema reševanja vse okvirne enačbe je naslednja: \\ t

1. Evidentiranje izvornega enačba. Na primer: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
2. Nekaj \u200b\u200bnerazumljivega sranja. Ali celo nekaj konjev, ki se imenujejo "pretvorba enačbe";
3. Na izhodu za pridobitev najenostavnejših izrazov tipa $ ((4) ^ (x)) \u003d $ 4 ali nekaj drugega v tem duhu. Poleg tega lahko ena začetna enačba da naenkrat več takih izrazov.

S prvim elementom je vse jasno - celo moja mačka bo lahko posnela enačbo na listu. Tudi s tretjo točko se zdi, bolj ali manj jasno - smo že stožili take enačbe.

Toda kako biti z drugo postavko? Kakšno transformacijo? Kaj pretvoriti? In kako?

Razumem. Najprej bom opozoril naslednje. Vse okvirne enačbe so razdeljene na dve vrsti:

1. Enačba je sestavljena iz okvirnih funkcij z isto bazo. Primer: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x - 1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
2. Formula ima predstavitvene funkcije z različnimi bazami. Primeri: $ ((7) ^ (x + 6)) CDOT ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)) $ in $ ((100) ^ (x - 1) ) CDOT ((2,7) ^ (1-X)) \u003d 0,09 $.

Začnimo z enačbami prvega tipa - so rešene najlažje. In v njihovi rešitvi bomo pomagali takšnim sprejemom kot dodelitev trajnostnih izrazov.

Dodelitev stabilnega izraza

Poglejmo to enačbo:

[(4) ^ (x)) + ((4) ^ (x - 1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 \\ _ \\ t

Kaj vidimo? Četrtičar je postavljen v različnih stopnjah. Toda vse te stopnje so preproste količine $ x $ spremenljivke z drugimi številkami. Zato je treba opozoriti na pravila za delo s stopnjami: \\ t

[zaženite (poravnajte) in ((a) ^ (x + y)) \u003d ((a) ^ (x)) cdot ((a) ^ (y)); & (a) ^ (xy)) \u003d ((a) ^ (x)): ((a) ^ (y)) \u003d frac (((a) ^ (x))) ((() \\ t ^ (y)). Konec (poravnava) \\ t

Preprosto povedano, dodajanje kazalnikov se lahko pretvori v delo stopenj, odštevanje pa se zlahka pretvori v delitev. Poskusimo uporabiti te formule do stopnje iz naše enačbe:

[Začetek (poravnava) in ((4) ^ (x - 1)) \u003d frac ((((4) ^ (x))) (((4) ^ (1))) \u003d ((4) ^ (x)) CDOT FRAC (1) (4); · (4) ^ (x + 1)) \u003d ((4) ^ (x)) CDOT ((4) ^ (1)) \u003d ((4) ^ (x)) CDOT 4. \\ t Konec (poravnava) \\}

Ponovno napišem prvotno enačbo, ob upoštevanju tega dejstva in nato zbira vse komponente na levi:

[Začetek (poravnan) in (((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) CDOT FRAC (1) (4) \u003d ((4) ^ (X)) CDOT 4 -eleven; & (4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) CDOT FRAC (1) (4) - ((4) ^ (x)) CDOT 4 + 11 \u003d 0. Konec (poravnava) \\ t

V prvih štirih komponentah je element $ ((4) ^ (x)) $ - jaz ga bom prinesel za nosilec:

[zaženite (poravnajte) in ((4) ^ (x)) CDOT levo (1+ Frac (1) (4) -4 desno) + 11 \u003d 0; & (4) ^ (x)) CDOT FRAC (4 + 1-16) (4) + 11 \u003d 0; \\\\ (4) ^ (x)) CDOT levo (- Frac (11) (4) Desno) \u003d - 11. Konec (poravnava) \\ t

Še vedno je razdeliti oba dela enačbe za frakcijo $ - Frac (11) (4) $, i.e. V bistvu pomnožite na prekrivno frakcijo - $ - Frac (4) (11) $. Dobimo:

[Začetek (poravnajte) in ((4) ^ (x)) CDOT levo (- Frac (11) (4) Desno) CDOT levo (- Frac (4) (11) \\ t ) \u003d - 11 cdot levo (- Frac (4) (11) \\ t & (4) ^ (x)) \u003d 4; & (4) ^ (x)) \u003d ((4) ^ (1)); \\ t \u003d 1. Konec (poravnava) \\ t

To je vse! Zmanjšali smo začetno enačbo na najpreprostejši in dobili končni odgovor.

Istočasno, v procesu rešitev, smo našli (in celo izvedeno za nosilec) skupni multiplikator $ ((4) ^ (x)) $ je stabilen izraz. To je mogoče označiti z novo spremenljivko in lahko preprosto nežno izražate in dobite odgovor. V vsakem primeru je ključno načelo reševanja naslednjega: \\ t

Poiščite stabilen izraz v izvorni enačbi, ki vsebuje spremenljivko, ki je zlahka označena z vseh okvirnih funkcij.

Dobra novica je, da skoraj vsaka okvirna enačba omogoča dodeljevanje takšnega stabilnega izraza.

Vendar pa obstajajo slabe novice: Takšni izrazi so lahko zelo zmedeni, in jih je težko dodeliti. Zato bomo analizirali drugo nalogo:

[(5) ^ (x + 2)) + ((0,2) ^ (- x - 1)) + 4 CDOT ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2 \\ t

Morda bo nekdo zdaj imel vprašanje: "Pasha, kaj si piščal? Tukaj, različne baze - 5 in 0,2 ". Poskusimo pretvoriti diplomo z bazo 0,2. Na primer, se znebite decimalnih frakcij, ki ga prinašajo na normalno:

[((0.2) ^ (- x - 1)) \u003d (((0.2) ^ (- levo (desno) (X + 1)) \u003d ((levo (Frac (Frac (2) \\ t )) ^ (- levo (levo (x + 1 desno)) \u003d ((levo (Frac (1) (5) desno)) ^ (- levo (X + 1 desno))) \\ t

Kot lahko vidite, se je številka 5 pojavila, pustite, da je tako v imenovalcu. Hkrati je kazalnik ponovno napisal v obliki negativnega. In zdaj se spominjam enega najpomembnejših pravil za delo s stopnjami:

[((a) ^ (- n)) \u003d frac (1) ((((a) ^ (n))) pravica ((levo (Frac (Frac (1) (5) desno)) ^ ( - levo (x + 1 desno))) \u003d ((levo (Frac (5) (1) desno)) ^ (x + 1)) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\ t ]

Tukaj sem seveda rahlo hitel. Ker je bilo za popolno razumevanje formule dobave iz negativnih kazalnikov, je bilo treba zabeležiti takole:

[((a) ^ (- n)) \u003d frac (1) ((((a) ^ (n))) \u003d (levo (Frac (1) (a) desno)) ^ (n )) Pravice prav ((levo (Frac (1) (5) desno)) ^ (- levo (X + 1 desno))) \u003d ((levo (Frac (Frac (Frac (5) \\ t Desno)) ^ (x + 1)) \u003d (5) ^ (x + 1)) \\ t

Po drugi strani pa nam nič ne preprečuje, da bi delali z enim posnetkom:

[((levo (Frac (1) (5) desno)) ^ (- levo (X + 1 desno))) \u003d ((levo (((((5) ^ (- 1)) \\ t Desno) ^ (- levo (levo (x + 1 desno))) \u003d ((5) ^ (levo (-1 desno) CDOT levo (- levo (desno) \\ t )) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\ _ \\ t

Toda v tem primeru morate biti sposobni postavite stopnjo do druge diplome (vas opomni: kazalniki so zloženi). Vendar nisem moral "obrniti" frakcij - morda za nekoga, ki ga bo lažje. :)

V vsakem primeru bo začetna okvirna enačba ponovno napisana kot:

[Začetek (poravnava) in ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) + 4 CDOT ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; & (5) ^ (x + 2)) + 5 cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; & (5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (1)) cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; & (5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 2)) \u003d 2; & 2 CDOT ((5) ^ (x + 2)) \u003d 2; & (5) ^ (x + 2)) \u003d 1. Konec (poravnava) \\ t

Zato se izkaže, da je začetna enačba še lažja od prej obravnavane: ni treba dodeliti stalnega izraza - vse se je zmanjšal. Ostaja le, da se spomnimo, da $ 1 \u003d ((5) ^ (0)) $, od koder dobimo:

[Začetek (poravnan) in ((5) ^ (x + 2)) \u003d ((5) ^ (0)); & x + 2 \u003d 0; \\ t \u003d -2. Konec (poravnava) \\ t

To je vsa odločitev! Imamo končni odgovor: $ X \u003d -2 $. Hkrati bi rad upošteval en sprejem, ki nas je zelo poenostavil vse izračune:

V spodnjih enačbah se prepričajte, da se znebite decimalnih frakcij, jih prevedite v navadno. To vam bo omogočilo, da vidite iste temelje stopenj in bo bistveno poenostavilo odločbo.

Zdaj se obrnimo na bolj zapletene enačbe, v katerih obstajajo različne temelje, ki se sploh niso znižale drug na drugega s pomočjo stopenj.

Uporabite lastnosti stopenj

Naj vas spomnim, da imamo še dve posebno ostri enačbi:

[zaženite (poravnajte) in ((7) ^ (x + 6)) CDOT ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); & (100) ^ (x - 1)) CDOT ((2,7) ^ (1-X)) \u003d 0,09. Konec (poravnava) \\ t

Glavna težava tukaj ni jasno, kaj naj na katero osnovo. Kje so stabilni izrazi? Kje so enake temelje? Za to ni potrebe.

Toda poskusimo iti na drug način. Če ni pripravljenih vrednosti, lahko poskusite najti, o razlogih za multiplikatorje.

Začnimo s prvo enačbo:

[zaženite (poravnajte) in ((7) ^ (x + 6)) CDOT ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); & 21 \u003d 7 CDOT 3 Usnjarrow ((21) ^ (3x)) \u003d ((levo (7 CDOT 3 DESNO)) ^ (3X)) \u003d ((7) ^ (3x)) \\ t Cdot ((3) ^ (3x)). Konec (poravnava) \\ t

Toda navznoter, lahko nadaljujete z nasprotno - make up iz številk 7 in 3 številka 21. Še posebej je enostavno narediti na levi, saj so kazalniki in obe stopinja enaka:

[Začetek (poravnan) in ((7) ^ (x + 6)) CDOT ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((levo (7 cdot 3 desno)) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (x + 6)); & (21) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); & x + 6 \u003d 3x; \\ T 2x \u003d 6; \\ t Konec (poravnava) \\ t

To je vse! Naredili ste kazalnik stopnje zunaj dela in takoj dobil lepo enačbo, ki je rešena v nekaj progah.

Zdaj se bomo ukvarjali z drugo enačbo. Tukaj je vse veliko težje:

[(100) ^ (x - 1)) CDOT ((2,7) ^ (1-X)) \u003d 0,09 \\ _ \\ t

[(100) ^ (x - 1)) CDOT ((levo (Frac (27) (10) Desno)) ^ (1-X)) \u003d Frac (9) (100) \\ t

V tem primeru so bile frakcije utemeljene, če pa bi se kaj zmanjšalo - se prepričajte, da se zmanjšate. Pogosto se bodo pojavili zanimivi razlogi, s katerimi boste že delali.

Na žalost se ni nič pojavilo. Vendar vidimo, da so kazalniki stopenj, ki stojijo v delu na levi, nasproti:

Naj vas spomnim: da se znebite znaka "minus" v indikatorju, je dovolj, da "obrnemo" frakcijo. No, ponovno napišite prvotno enačbo:

[Začetek (poravnava) in ((100) ^ (x - 1)) CDOT ((levo (10) (27) Desno)) ^ (x - 1)) \u003d Frac (9 ) (100); (levo (100 cdot Frac (10) (27) Desno)) ^ (X-1)) \u003d Frac (9) (100); & (levo (Frac (1000) (27) Desno)) ^ (X - 1)) \u003d Frac (9) (100). Konec (poravnava) \\ t

V drugi vrstici smo preprosto izvedli splošno vrednost od dela za nosilec v skladu s pravilom $ ((a) ^ (x)) CDOT ((B) ^ (X)) \u003d ((levo (A) CDOT B DESNO)) ^ (X)) $, in v slednjem je samo pomnožila številka 100 z frakcijo.

Zdaj ugotavljamo, da so številke, ki stojijo na levi (na dnu) in na desni, podobna. Kot? Da, očitno: so stopnje iste številke! Imamo:

[Začetek (poravnava) Frac (1000) (27) \u003d Frac ((((10) ^ (3))) (((3) ^ (3))) \u003d (levo (10) \\ t ) (3) desno)) ^ (3)); Frac (9) (100) \u003d Frac ((((3) ^ (2))) (((10) ^ (3))) \u003d ((levo (Frac (3) (10) \\ t Desno) ^ (2)). Konec (poravnava) \\ t

Tako bo naša enačba ponovno pisana na naslednji način:

[((levo (levo (levo (10) (3) desno)) ^ (3)) Desno)) ^ (x - 1)) \u003d ((levo (Frac (Frac (3) \\ t (10) desno)) ^ (2)) \\ _ \\ t

[(((levo (((levo ((levo (10) (3) desno)) ^ (3)) desno)) ^ (X - 1)) \u003d ((levo (Frac (10) \\ t ) (3) desno)) ^ (3 levo (x - 1 desno))) \u003d (levo (10 (10) (3) desno)) ^ (3x-3)) \\ t

Hkrati pa lahko dobite tudi diplomo z enako osnovo, za katero je dovolj, da "obrnemo" frakcijo:

[(((levo (3) (10) desno)) ^ (2)) \u003d (levo (10) (3) (3) desno)) ^ (- 2)) \\ t

Nazadnje, naša enačba bo v obliki:

[Začetek (poravnava) in (levo (Frac (10) (3) desno)) ^ (3x-3)) \u003d ((levo (Frac (10) (3) \\ t ^ (- 2)); 3x-3 \u003d -2; 3x \u003d 1; Frac (1) (3). Konec (poravnava) \\ t

To je celotna odločitev. Njegova glavna ideja se zmanjša na dejstvo, da tudi v različnih razlogih, ki jih poskušamo kakršne koli resnice in neskladnosti, da zmanjšajo te razloge za isto. To je pripomoglo z osnovnimi transformacijami enačb in pravil za delo s stopnjami.

Toda kakšna so pravila in kdaj uporabljati? Kako razumeti, da v eni enačbi morate deliti obe strani za nekaj, in v drugem, da postavimo osnovo okvirne funkcije na multiplikatorjih?

Odgovor na to vprašanje bo prišel z izkušnjami. Poskusite z roko na prvi na običajnih enačbah, nato pa postopoma otežiti naloge - in zelo kmalu bodo vaše sposobnosti dovolj za reševanje vse okvirne enačbo iz iste uporabe ali katerega koli neodvisnega / preskusnega dela.

In da vam pomagam pri tej trdi snovi, predlagam, da prenesem niz enačb za samostojno rešitev na mojem spletnem mestu. Za vse enačbe obstajajo odgovori, tako da se lahko vedno preverite.

Na splošno vam želim dobro vadbo. In videli vas boste v naslednji lekciji - tam bomo razstavili resnično kompleksne nižje enačbe, kjer zgoraj opisane metode niso dovolj. In preprosto usposabljanje ne bo dovolj. :)

Raztopina večine matematičnih problemov je eden ali drugačen, povezan s preoblikovanjem numeričnih, algebrskih ali funkcionalnih izrazov. Zlasti navedene za odločbo. V variantah EGE v matematiki do take vrste nalog, je naloga, zlasti C3 problem. Učenje reševanja nalog C3 Pomembno je ne samo za namen uspešne dostave uporabe, ampak iz razloga, da je ta znanja uporabna pri preučevanju potek matematike v najvišji šoli.

Opravljanje nalog C3 mora rešiti različne vrste enačb in neenakosti. Med njimi so racionalni, nerazumni, indikativni, logaritemski, trigonometriktorji, ki vsebujejo module (absolutne vrednosti), kot tudi kombinirani. Ta članek obravnava glavne vrste okvirnih enačb in neenakosti, pa tudi različne metode njihovih rešitev. Preberite o odločitvi preostalih vrst enačb in neenakosti v naslovu "" v členih o metodah reševanja problemov C3 iz OPLNIH OPTING V MATEMATIKI.

Preden nadaljujete z analizo specifičnih okvirne enačbe in neenakostiKot mentor v matematiki vam predlagam, da osvežite nekaj teoretičnega materiala, ki ga potrebujemo.

Eksponentna funkcija

Kaj je okvirna funkcija?

Funkcija tipa y. = a X.kje a. \u003e 0 I. a. ≠ 1, imenovan okvirna funkcija.

Vzdrževanje lastnosti okvirne funkcije y. = a X.:

Okvirna funkcija grafa

Graf okvirne funkcije je razstavljavec:

Grafi okvirnih funkcij (razstavljavci)

Raztopina okvirnih enačb

Okvirna Imenujejo se enačbe, v katerih je neznana spremenljivka samo v kazalnikih katere koli stopnje.

Za rešitve označne enačbe Morate vedeti in imeti možnost, da uporabite naslednji preprost izrek:

Teorem 1. Okvirna enačba a. f.(x.) = a. g.(x.) (kje a. > 0, a. ≠ 1) Enakovredna enačba f.(x.) = g.(x.).

Poleg tega je koristno zapomniti osnovne formule in dejanja s stopnjami:

NASLOV \u003d "(! LANG: Ponuja QuickTextex.com">!}

Primer 1. Rešite enačbo:

Sklep: Uporabljamo zgornje formule in zamenjavo:

Enačba je nato v obliki:

Diskriminalka pridobljene kvadratne enačbe je pozitivna:

NASLOV \u003d "(! LANG: Ponuja QuickTextex.com">!}

To pomeni, da ima ta enačba dve korenini. Najdemo jih:

Vrnitev na povratno zamenjavo, dobimo:

Druga koren enačba nima, saj je okvirna funkcija strogo pozitivna po celotni območju opredelitve. Rešimo drugo:

Ob upoštevanju navedenega v Teoremu 1, pojdite na enakovredno enačbo: x. \u003d 3. To bo odgovor na nalogo.

Odgovor: x. = 3.

Primer 2. Rešite enačbo:

Sklep: Na področju dovoljenih vrednosti v enačbi ni omejitev, saj je izraz hranjenja smiseln na katerem koli pomenu x. (eksponentna funkcija y. = 9 4 -X. pozitivna in ne enaka nič).

Enačbo rešujemo z enakovrednimi transformacijami z uporabo pravil množenja in delitve stopenj:

Zadnji prehod je bil izveden v skladu s Teoremom 1.

Odgovor:x.= 6.

Primer 3. Rešite enačbo:

Sklep: Oba dela izvornega enačbe lahko razdelimo z 0,2 x. . Ta prehod bo enakovreden, saj je ta izraz večji od nič v vsaki vrednosti. x. (Okvirna funkcija je strogo pozitivna na območju definicije). Potem enačba prevzame obliko:

Odgovor: x. = 0.

Primer 4. Rešite enačbo:

Sklep:enačbo poenostavljamo z enakovrednimi transformacijami z uporabo pravil delitve in množenja stopinj na začetku izdelka:

Oddelek obeh delov enačbe za 4 x. , kot v prejšnjem primeru, je enakovredna transformacija, saj ta izraz ni nič, ne glede na to, kakšne vrednosti x..

Odgovor: x. = 0.

Primer 5. Rešite enačbo:

Sklep: Funkcija y. = 3 X., stoji na levi strani enačbe, narašča. Funkcija y. = —x.-2/3, ki stoji v desnem delu enačbe, se spušča. To pomeni, da če se grafi teh funkcij sekajo, potem ne več kot ena točka. V tem primeru ni težko ugibati, da se grafi sekajo na točki x. \u003d -1. Drugih korenin ne bo.

Odgovor: x. = -1.

Primer 6. Rešite enačbo:

Sklep: Enačbo poenostavimo z enakovrednimi transformacijami, ki so v mislih povsod, kjer je okvirna funkcija strogo večja od nič v vsakem pomenu x.in z uporabo pravil za izračun dela in zasebnih diplom na začetku izdelka:

Odgovor: x. = 2.

Raztopina okvirnih neenakosti

Okvirna Imenuje se neenakosti, v katerih je neznana spremenljivka vsebovana samo v kazalnikih katere koli stopnje.

Za rešitve okvirne neenakosti Znanje zahteva naslednji teorem:

Teorem 2. Če a. \u003e 1, potem neenakost a. f.(x.) > a. g.(x.) Enaka neenakosti istega pomena: \\ t f.(x.) > g.(x.). Če je 0.< a. < 1, то показательное неравенство a. f.(x.) > a. g.(x.) Je enakovreden neenakosti nasprotnega smisla: f.(x.) < g.(x.).

Primer 7.Rešite neenakost:

Sklep: Predstavljajte si začetno neenakost v obliki:

Razdelimo oba dela te neenakosti za 3 2 x. Hkrati (zaradi pozitivnosti funkcije y.= 3 2x.) Znak neenakosti se ne bo spremenil:

Uporabljamo zamenjavo:

Potem bo neenakost v obliki:

Torej je rešitev neenakosti vrzel:

vrnitev na povratno zamenjavo, dobimo:

Leva neenakost zaradi pozitivnosti okvirne funkcije se izvede samodejno. Izkoriščanje znane lastnosti logaritma nadaljujemo z enakovredno neenakostjo:

Ker bo v določeni meri prehod na naslednjo neenakost v naslednjo stopnjo, bo prehod na naslednjo neenakost:

Torej, končno dobil odgovor:

Primer 8. Rešite neenakost:

Sklep: Z uporabo lastnosti množenja in delitvenih stopenj, prepisovanje neenakosti v obliki:

Uvajamo novo spremenljivko:

Ob upoštevanju te zamenjave je neenakost v obliki:

Pomnožite števca in imenovalec frakcije na 7, dobimo naslednjo enakovredno neenakost:

Torej, neenakost izpolnjuje naslednje vrednosti spremenljivke t.:

Potem, mimo povračila zamenjavo, dobimo:

Ker je temelj diplome tukaj več kot enota, bo enakovreden (po izteku 2) prehod na neenakost:

Končno odgovor:

Primer 9. Rešite neenakost:

Sklep:

Oba dela neenakosti delimo na izraz:

Vedno je večja od nič (zaradi pozitivnosti okvirne funkcije), zato znak neenakosti ni potreben. Dobimo:

t, ki se nahaja v intervalu:

Vrnitev na povratno zamenjavo dobimo, da se začetna neenakost razpade v dva primera:

Prva neenakost rešitev nima ustreznosti okvirne funkcije. Rešimo drugo:

Primer 10. Rešite neenakost:

Sklep:

Parabola Podružnice y. = 2x.+2-x. 2 so usmerjena, zato je omejena od zgoraj navedene vrednosti, ki jo doseže v njeni tocki:

Parabola Podružnice y. = x. 2 -2x.+2, ki stoji v indikatorju, je usmerjeno navzgor, to pomeni, da je omejena na dno z vrednostjo, ki jo doseže v njeni tocki:

Skupaj s tem omejenim dnom je funkcija tudi y. = 3 x. 2 -2x.+2, stoji v desnem delu enačbe. Doseže svojo najmanjšo vrednost na isti točki, kot je parabola, ki stoji v indikatorju, in ta vrednost je 3 1 \u003d 3. Torej je začetna neenakost lahko pravilna le, če je funkcija na levi in \u200b\u200bfunkciji na desni Ena točka je vrednost, ki je enaka 3 (presečišče teh funkcij je le to število). Ta pogoj se izvede v eni točki. x. = 1.

Odgovor: x.= 1.

Da se naučijo odločiti okvirne enačbe in neenakosti, \\ t Treba je nenehno usposabljati v svoji odločitvi. V tem težkem primeru vam lahko različni metodološki priročniki pomagajo, zbirateljev za osnovno matematiko, zbirke konkurenčnih nalog, razrede v matematiki v šoli, kot tudi posamezne razrede s profesionalnim mentorjem. Iskreno vam želim uspeh pri pripravi in \u200b\u200bbriljantnih rezultatov na izpitu.

Sergey Valerievich.

P. S. Dragi gostje! Prosimo, ne napišite aplikacij v komentarjih na reševanje vaših enačb. Na žalost nimam nobenega časa za to. Takšna sporočila bodo izbrisana. Preberite članek. Morda boste našli odgovore na vprašanja, ki vam niso omogočila, da sami rešite svojo nalogo.

V fazi priprave na končno testiranje študentov srednješolcev morate vedeti na temo "Inžve enačbe". Izkušnje preteklih let kažejo, da takšne naloge povzročajo določene težave od šolarjev. Zato je srednješolci, ne glede na njihovo raven priprave, je treba skrbno izenačiti teorijo, se spomnite formul in razumeti načelo reševanja takih enačb. Ko je uspel spopadati s to vrsto nalog, bodo diplomanti lahko računali na visoke točke, ko bodo opravili izpit iz matematike.

Pripravite se na testiranje izpita z "Shkolkovo"!

Pri ponovitvi posredovanih materialov se številni učenci soočajo s problemom iskanja formul, ki so potrebni za reševanje enačb. Šolski učbenik ni vedno pri roki, izbira potrebnih informacij na temo na internetu pa traja dolgo časa.

Izobraževalni portal "Skolkovo" ponuja študentom, da izkoristijo naše bazo znanja. Izvajamo popolnoma nov način priprave na končno testiranje. Ko počnete na naši spletni strani, lahko prepoznate vrzeli v znanju in bodite pozorni na te naloge, ki povzročajo največje težave.

Učitelji "Shkolkovo" zbrali, sistematizirani in opisali vse materiale, ki so potrebni za uspešno prehod EGE čim bolj enostavno in dostopno obliko.

Glavne definicije in formule so predstavljene v razdelku »Teoretična pomoč«.

Za boljšo asimilacijo gradiva priporočamo izvajanje nalog. Oglejte si primere eksponentnih enačb na tej strani, da razumete algoritem izračuna. Po tem nadaljujte z izvajanjem nalog v razdelku »Katalogi«. Lahko začnete z najlažjimi nalogami ali takoj premakniti na reševanje kompleksnih indikativnih enačb z več neznanimi ali. Osnova vadbe na naši spletni strani je nenehno dopolnjena in posodobljena.

Ti primeri s kazalniki, ki imajo težave, omogočajo dodajanje priljubljenih. Tako jih lahko najdete in razpravljate o odločitvi z učiteljem.

Za uspešno opravite izpit, se vsak dan ukvarjate v portal "Shkolkovo"!

Kakšna je okvirna enačba? Primeri.

Torej, okvirna enačba ... nova edinstvena razstava na naši splošni razstavi različnih enačb!) Kako se skoraj vedno zgodi, ključna beseda katerega koli novega matematičnega izraza je ustrezen pridevnik, za katero je značilna. Torej tukaj. Ključna beseda v izrazu "Okvirna enačba" je beseda "Inž". Kaj to pomeni? Ta beseda pomeni, da je neznana (x) v kazalnikih katere koli stopnje. In samo tam! Zelo pomembno je.

Na primer, takšne preproste enačbe:

3 x +1 \u003d 81

5 x + 5 x +2 \u003d 130

4 · 2 2 x -17 · 2 x +4 \u003d 0

Ali celo takšne pošasti:

2 SIN X \u003d 0,5

Prosim, nemudoma bodite pozorni na eno pomembno stvar: v bazeni Stopnje (spodaj) - samo številke. Ampak B. indikatorji Stopnje (od zgoraj) - široko paleto izrazov z Xa. Popolnoma vse.) Vse je odvisno od posebne enačbe. Če se, nenadoma, bo ex prišel ven v enačbi kjerkoli drugje, poleg kazalnika (recimo, 3 x \u003d 18 + x 2), potem ta enačba bo že enačba mešani tip. Takšne enačbe nimajo jasnih pravil za rešitve. Zato jih v tej lekciji ne bomo obravnavali. V veselje učencev.) Tu bomo upoštevali le okvirne enačbe v "čisti" obliki.

Na splošno, celo čiste okvirne enačbe so jasno rešene daleč od vsega in ne vedno. Toda med celotno bogato raznolikost eksponentnih enačb obstajajo določene vrste, ki jih je mogoče rešiti in potrebne. To so te vrste enačb, ki jih bomo gledali. In primeri se zagotovo tresejo.) Torej ste zadovoljni in na cesti! Kot v računalniku "Shooting" bo naša pot potekala v ravneh.) Od osnovnega do preprostega, od preprostega do sredine in srednjega - do kompleksa. Na poti boste čakali tudi na skrivno raven - sprejeme in metode za reševanje nestandardnih primerov. Tisti, ki jih ne boste brali v večini šolskih učbenikov ... No, na koncu vas, seveda, čaka na zadnji šef v obliki hiš.)

Raven 0. Kaj je najpreprostejša enačba navedbe? Rešitev najpreprostejših okvirnih enačb.

Za začetek razmislite o nekaterih frankovnih elementih. Iz nečesa, kar morate začeti, kajne? Na primer, taka enačba:

2 x \u003d 2 2

Tudi brez kakršnih koli teorij, na enostavni logiki in zdravju, je jasno, da X \u003d 2. Sicer ni res? Nobena druga vrednost ICA ni dobra ... in zdaj bomo obrnili oči sklep snemanja Te kul okvirne enačbe:

2 x \u003d 2 2

X \u003d 2.

Kaj se nam je zgodilo? In se je zgodilo. Pravzaprav smo vzeli in ... pravkar vrgli enake baze (twos)! Popolnoma so vrgli. In kaj je všeč, je prišel v jabolko!

Da, res, če je v eksponentni enačbi na levo in desno enakoŠtevilke v vseh stopnjah, nato te številke se lahko zavržejo in preprosto enake stopnje. Matematika dovoljena.) In potem lahko delate ločeno s kazalniki in se odločite veliko enostavnejše enačbe. Odlično, kajne?

Tukaj je ključna ideja reševanja katerega koli (da, to je kdo!) Okvirna enačba: s pomočjo enakih transformacij je treba zagotoviti, da je levo in desno v enačbi enako Okrogle številke v različnih stopnjah. In potem lahko varno odstranite enake baze in izenačite kazalnike stopenj. In delajte z enostavnejšo enačbo.

Sedaj se spomnim pravila železa: mogoče je odstraniti enake baze, če in le, če je v enačbi na levi in \u200b\u200bdesni strani pri ponosni osamljenosti.

Kaj to pomeni v ponosni osamljenosti? To pomeni brez sosedov in koeficientov. Pojasnem.

Na primer, v enačbi

3 · 3 x-5 \u003d 3 2 x +1

Troika ni mogoče odstraniti! Zakaj? Ker na levi, nismo samo osamljeni tri do stopnje, ampak sestava 3 · 3 x-5. Presežna trojka ovira: koeficient, razumete.)

Enako lahko rečemo o enačbi

5 3 x \u003d 5 2 x +5 x

Tudi tu so vse temelje enake - pet. Toda na pravici nimamo osamljene stopnje petih: tam - vsota stopenj!

Skratka, imamo pravico, da odstranimo iste temelje samo, ko naša okvirna enačba izgleda takole in le na ta način:

a. F. ( X.) = a G. ( X.)

Ta vrsta okvirne enačbe se imenuje najenostavnejši. Ali, znanstveno, canonik . In karkoli je dvignjena enačba pred nami, jo bomo imeli, vseeno, bomo zmanjšali točno najpreprostejši (kanonomski) um. Ali, v nekaterih primerih skupaj. enačbe te vrste. Nato naša najpreprostejša enačba lahko na splošno prepišemo tako:

F (x) \u003d g (x)

In to je to. To bo enakovredno preoblikovanju. V tem primeru, kot F (X) in G (X), popolnoma vsake izraze z X lahko stojijo. Vsak, prosim.

Morda bo še posebej radovedni študent vprašal: in iz katere osnove smo tako enostavno in preprosto zavrzite enake baze na levi in \u200b\u200bdesni in enačijo kazalnike stopenj? Intuicijska intuicija, vendar nenadoma, v določeni enačbi in iz nekega razloga, bo ta pristop napačen? Ali vedno zakonito vrže iste temelje? Na žalost, za strog matematični odgovor, je to zanimivo vprašanje potrebno zelo globoko in resno potopljen v splošno teorijo naprave in vedenje funkcij. Malo natančneje - v pojavu stroga monotonija. Zlasti stroga monotonija Okvirna funkcijay.= a X.. Ker je to okvirna funkcija in njene lastnosti, ki podlagajo raztopino okvirnih enačb, da.) Razporejeni odziv na to vprašanje bo naveden v ločenem posebnem sistemu, namenjen reševanju kompleksnih nestandardnih enačb z uporabo monotonije različnih funkcij. )

Da bi podrobno pojasnili ta trenutek, je samo, da bi možgani pripeljali na povprečni študent in ga prestrašili pred časom s suho in očarljivo teorijo. Tega ne bom naredil.) Za našo glavno nalogo je trenutno - naučite se rešiti demonstracijske enačbe! Najbolj najenostavnejši! Zato ne skrbijo in pogumno vržejo iste temelje. to. lahko, Verjemite mi za besedo!) In potem že rešiti ekvivalentno enačbo f (x) \u003d g (x). Praviloma je enostavnejša od izvirnika, ki je okvirna.

Seveda se domneva, da je že sposoben rešiti celo enačbe brez ICS v kazalnikih, ljudje so že sposobni v tem trenutku.) Kdo še vedno ne ve, kako - pogumno zapiranje te strani, hoje po ustreznih referencah in dopolnjujejo stare vrzeli. V nasprotnem primeru vam boste morali kaj, da ...

Tiho sem o nerazumnih, trigonometričnih in drugih brutalnih enačbah, ki se lahko pojavijo tudi v procesu odpravljanja razlogov. Ampak ne bojte se, Frank Tin v kazalnikih stopenj, ne bomo menili: to je prezgodaj. Usposabljali bomo samo na najbolj običajne enačbe.)

Zdaj razmislite o enačbah, ki zahtevajo nekaj dodatnih prizadevanj, da bi jim dali najenostavnejši. Za razlike jih bomo poklicali enostavne indikativne enačbe. Torej, selitev na naslednjo stopnjo!

Raven 1. Enostavne demonstracijske enačbe. Prepoznajte diplome! Naravni kazalniki.

Ključna pravila pri reševanju kakršnih koli okvirnih enačb so pravila delovanja z diplomami. Brez teh znanj in spretnosti se nič ne bo zgodilo. Alas. Torej, če s stopenj problema, potem prosim za začetek milosti. Poleg tega nas potrebujemo. Te transformacije (toliko kot dva!) - osnova za rešitev vseh matematičnih enačb na splošno. In ne samo okvirno. Torej, kdo je pozabil, se spreminjajo po referenci: Ne samo jih postavim na njih.

Toda edina dejanja z diplomami in enakimi transformacijami je malo. Še vedno potrebna osebna opazovanje in povečanje. Potrebni smo iste temelje, kajne? Torej gledamo na primer in iščemo jih v očitni ali prikrito obliko!

Na primer, taka enačba:

3 2 x - 27 x +2 \u003d 0

Prvi pogled osnova. Različne so! Trojka in sedemindvajset. Vendar panike in padejo v obup. Čas je, da se tega spomnite

27 = 3 3

Številke 3 in 27 - glede na stopnjo! In blizu.) Postalo je, da imamo polno pravico pisati:

27 x +2 \u003d (3 3) x + 2

Zdaj pa povežemo svoje znanje dejanja s stopnjami (Opozoril sem!). Takšna zelo koristna formula:

(a m) n \u003d a mn

Če ga še naprej zaženete, je to splošno popolno:

27 x +2 \u003d (3 3) x + 2 \u003d 3 3 (x +2)

Prvi primer je videti tako:

3 2 x - 3 3 (x +2) \u003d 0

Odlično, temelje stopnje so bile izravnane. Kar smo iskali. Pogosto storjeno.) Ampak zdaj vodimo osnovno pretvorbo identitete v tečaj - tolerirajte 3 3 (x +2) na desno. Nihče ni preklical osnovnih dejanj matematike, da.) Dobimo:

3 2 x \u003d 3 3 (x +2)

Kaj nam to vrsto enačbe da? In dejstvo, da se zdaj naša enačba zmanjša na kanonični videz: Na levi in \u200b\u200bdesni so enake številke (trojka) v stopinjah. In obe vojaki so ponosni osamljenosti. Skrvno odstranimo trojko in dobimo:

2x \u003d 3 (x + 2)

To se odločimo in dobite:

X \u003d -6.

To je vse. To je pravilen odgovor.)

In zdaj razumemo odločitev rešitve. Kaj je bilo shranjeno v tem primeru? Shranili smo jih poznavanje stopenj trojke. Kako točno? smo identificirano Med 27 šifrirano trojko! Ta sprejemnik (šifriranje iste baze pod različnimi številkami) je eden izmed najbolj priljubljenih v okvirnih enačbah! Razen če je najbolj priljubljen. Da, in tudi mimogrede. Zato je v okvirnih enačbah, opazovanje in sposobnost prepoznavanja v številu drugih številk, so tako pomembni!

Praktični nasvet:

Stopnje priljubljenih številk morajo vedeti. V obraz!

Seveda gradimo dve sedmi stopnji ali tri v peti. Ne v mislih, tako vsaj v osnutku. Toda v predstavitvenih enačbah je veliko pogosteje potrebna, da bi bila stopnja, vendar je na nasprotju - naučiti se, kakšno številko in v kolikšni meri je skrita na številko, recimo, 128 ali 243. In to je že bolj zapleteno kot enostavna gradnja , se boste strinjali. Občutite razliko, kaj se imenuje!

Ker sposobnost prepoznavanja stopinj v obrazu bo koristna ne le na tej ravni, ampak tudi na naslednjih, tukaj je majhna naloga:

Da bi ugotovili, kakšne stopnje in kakšne številke so:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Odgovori (korozija, naravno):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Da Da! Ne bodite presenečeni, da je več odgovorov kot nalog. Na primer, 2 8, 4 4 in 16 2 sta vse 256.

2. Raven Enostavne demonstracijske enačbe. Prepoznajte diplome! Negativni in frakcijski kazalniki.

Na tej ravni že uporabljamo naše znanje o stopinjah do polne tuljave. Namreč - vključujejo negativne in frakcinske kazalnike v tem fascinantnem procesu! Da Da! Moramo zgraditi moč, kajne?

Na primer, tako strašna enačba:

Spet, prvi pogled je na tleh. Bazeni so drugačni! Poleg tega je ta čas celo na daljavo ni podoben drug drugemu! 5 in 0,04 ... in za odpravo razlogov, potrebujete isto ... kaj storiti?

Nič narobe! Pravzaprav je vse enako, le vez med vrhom in 0,04 vizualno vidno slabo. Kako priti ven? In obrnemo okoli 0,04 na običajni frakciji! In tam, izgledaš, vse je oblikovano.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Wow! Izkazalo se je, da je 0,04 1/25! No, kdo bi mislil!)

Kako? Zdaj je povezava med številkami 5 in 1/25 lažja za premog? To je tisto, kar je ...

In zdaj v skladu s pravili delovanja z diplomami negativni kazalniklahko napišete trdno roko:

To je super. Zato smo dobili iste temelje - pet. Sedaj zamenjamo v enačbi Neprijetno število 0.04 do 5 -2 in dobimo:

Ponovno, v skladu s pravili delovanja z diplomami, lahko zdaj napišete:

(5 -2) x -1 \u003d 5 -2 (x -1)

V primeru, da te spomnim (nenadoma, ki se ne zaveda), da so osnovna pravila delovanja s stopnjami poštena kaj Kazalniki! Vključno za negativno.) Tako pogumno vzemite in zamenjajte kazalnike (-2) in (X - 1) v skladu z ustreznim pravilom. Naša enačba se izboljšuje in boljša:

Vse! Poleg osamljenih vrhov v stopinjah na levi in \u200b\u200bdesni ni nič več. Enačba se zmanjša na kanonsko obliko. In potem - vzdolž valjarnega ruta. Odstranimo vrhove in izenačite kazalnike:

x. 2 –6 x.+5=-2(x.-1)

Primer je praktično rešen. Osnovna matematika srednjih razredov je ostala - razkrila (pravilno!) Naramnice in zbrati vse na levi:

x. 2 –6 x.+5 = -2 x.+2

x. 2 –4 x.+3 = 0

To se odločimo in dobite dve korenini:

x. 1 = 1; x. 2 = 3

To je vse.)

In zdaj spet odražajo. V tem primeru smo spet morali prepoznati isto številko v različnih stopnjah! Namreč - glej 0.04 šifriranih pet. In tokrat - v negativna stopnja!Kako smo ga upravljali? Od poti - nikakor ni. Toda po prehodu iz decimalne frakcije 0,04 na običajnega frakcije 1/25 vse in poudarjeno! Potem je bila celotna odločitev kot nafta.)

Zato naslednji zeleni praktični svet.

Če obstajajo decimalne frakcije v okvirni enačbi, se premaknemo z decimalnih frakcij na navadno. V običajnih frakcijah je veliko lažje prepoznati diplome mnogih priljubljenih številk! Po priznanju se premikamo iz frakcij na stopnje z negativnimi kazalniki.

Imejte v mislih, da se takšna fintata v okvirnih enačbah najde zelo in zelo pogosto! In človek ni na temo. Izgleda, na primer, v številkah 32 in 0,125 in je razburjena. To ni mogoče, da je to enako dvakrat, samo v različnih stopnjah ... ampak ste že na temo!)

Rešite enačbo:

V! V videzu - tiha grozljiva ... vendar je videz zavajajočega. To je najpreprostejša indikativna enačba, kljub njegovi super videzu. In zdaj ti bom pokazal to.)

Prvič, obravnavamo vse sedeže, ki sedijo v razlogih in v koeficientih. Jasne so, različne, ja. Toda še vedno bomo tvegali in poskušali narediti enako! Poskusimo priti enako število v različnih stopnjah. Poleg tega je zaželeno, število najverjetnejših majhnih. Torej, začeti dešifrirati!

No, s četrtim, vse je jasno jasno - to je 2 2. Torej, že nekaj.)

Z delcem 0,25 - še ni jasen. Preveriti. Praktični svet uporabljamo - pojdite na decimalni del na navadno:

0,25 = 25/100 = 1/4

Že veliko boljši. Kajti zdaj je jasno videti, da je 1/4 2 -2. Odlično, število 0,25 pa je tudi sveže z dvojico.)

Medtem ko je vse dobro. Vendar najbolj slabo število vseh - kvadratni koren dveh! In s tem poper, kaj storiti? Ali je mogoče zamisliti kot stopnjo twos? In kdo ga pozna ...

No, spet se povzpnemo v našo zakladniško znanje o stopinjah! Tokrat boste dodatno povezovali naše znanje o koreninah. Od 9. razreda smo morali prejeti, da se lahko po želji vedno spremeni v stopnjo s frakcijskim indikatorjem.

Všečkaj to:

V našem primeru:

Kako! Izkazalo se je, korenski trg dveh je 2 1/2. To je to!

To je vredu! Vse naše neprijetne številke se je dejansko izkazalo, da se dvakrat šifrirajo.) Ne prepiram, nekje zelo sofistično šifrirano. Toda tudi mi povečujemo tudi njihovo profesionalnost v žarkih takih šifrantov! In potem je vse očitno. Zamenjamo v naši enačbi 4, 0,25 in koren dveh do stopnje dveh:

Vse! Osnove vseh stopenj v primeru so postale enake - dvakrat. In zdaj obstajajo standardni ukrepi s stopnjami:

a m ·n. = m. + N.

a m: a n \u003d a m-n

(a m) n \u003d a mn

Za levi strani se izkaže:

2 -2 · (2 \u200b\u200b2) 5 x -16 \u003d 2 -2 + 2 (5 x -16)

Za desno stran bo:

In zdaj je naša zlo enačba začela videti tako:

Kdo ni izročil, kako se je ta enačba izkazala, potem vprašanje ni okvirne enačbe. Vprašanje je ukrepanje z diplomami. Neumno sem vprašal, da bi ponovil tiste, ki imajo problem!

Tukaj je ciljna črta! Pridobimo kanonični pogled na okvirno enačbo! Kako? Prepričan sem, da to ni bilo tako strašno? ;) Odstranimo twos in izenačite kazalnike:

Še vedno je reševanje te linearne enačbe. Kako? S pomočjo enakih transformacij, Vestimo.) Dore, kaj je tam! Pomnožite oba dela za dvakrat (za odstranitev frakcije 3/2), prenesite komponente z ICS na levo, brez ICS na desno, prinesite podobno, razmislite - in boste zadovoljni!

Vse se mora lepo izkaželo:

X \u003d 4.

In zdaj spet razumemo potek rešitve. V tem primeru smo videli prehod iz kvadratni koren za stopnje z indikatorjem 1/2. In samo tako zapletena transformacija nam je pomagala povsod, da bi šla na isto bazo (dva), ki je shranila položaj! In če ni bilo za to, potem bi imeli vse možnosti, da se za vedno družijo in se ne spopadamo s tem zgledom, da ...

Zato ne zanemarjajte naslednjega praktičnega nasveta:

Če so korenine prisotne v obtožni enačbi, pojdite iz korenin na stopenj z frakcijskimi kazalniki. Zelo pogosto le tak transformacija in pojasnjuje nadaljnje razmere.

Seveda so negativne in frakcijske stopnje že veliko bolj zapletene z naravnimi stopnjami. Vsaj z vidika vizualnega zaznavanja in zlasti prepoznavanja na desni!

Jasno je, da je neposredno postavljeno, na primer, deuce do stopnje -3 ali četrti do -3/2 stopenj ni tako velik problem. Za dobro poznavanje.)

Toda tudi kot, na primer, s potekom

0,125 = 2 -3

Ali

Tukaj samo praksa in bogate izkušnje, da. In, seveda, jasno idejo, kaj je negativna in delna stopnja. In tudi - praktični nasveti! Da, zelo zelena .) Upam, da vam bodo še vedno pomagali bolje krmariti po vsej raznoliki raznolikosti stopenj in bo bistveno povečal vaše možnosti za uspeh! Zato jih ne zanemarjajte. Nisem zaman zelene barve, ki ga včasih pišem.)

Ampak, če postanete na "ti", tudi s takšnimi eksotičnimi stopnjami, kot negativnimi in delnimi, potem se vaše zmogljivosti pri reševanju eksplicitnih enačb nemoglujejo, in že boste na rami skoraj vse indikativne enačbe. No, če ne, potem obresti 80 vseh okvirnih enačb - zagotovo! Da, ja, ne šalim se!

Torej, naš prvi del poznavalca z okvirnimi enačbami se je približal njen logični zaključek. In kot vmesni vadbi, tradicionalno ponudim malo Ponnslast.)

Vaja 1.

Da bi moje besede o dešifriranju negativnih in frakcijskih stopenj ne izginejo, predlagam, da igram majhno igro!

Predstavljajte si stopnjo dveh številk:

Odgovori (v primeru motnje):

Se je zgodilo? Odlično! Nato naredite bojno nalogo - rešujemo najpreprostejše in enostavne indikativne enačbe!

Naloga 2.

Rešite enačbe (vsi odgovori - v motnje!):

5 2x-8 \u003d 25

2 5x-4 - 16 x + 3 \u003d 0

Odgovori:

x \u003d 16.

x. 1 = -1; x. 2 = 2

x. = 5

Se je zgodilo? Pravzaprav je veliko lažje!

Potem rešimo naslednjo igro:

(2 x +4) x -3 \u003d 0,5 x · 4 x -4

35 1 - x \u003d 0,2 - x · 7 x

Odgovori:

x. 1 = -2; x. 2 = 2

x. = 0,5

x. 1 = 3; x. 2 = 5

In ti primeri enega? Odlično! Rasteš! Potem pa tukaj za prigrizek bolj zvest:

Odgovori:

X. = 6

X. = 13/31

X. = -0,75

X. 1 = 1; x. 2 = 8/3

In odločeno je? No, spoštovanje! Odstranim klobuk.) Torej, lekcija, ki ni zaman, in začetno raven raztopine okvirnih enačb se lahko šteje za uspešno obvladovanje. Naprej - naslednje ravni in bolj zapletene enačbe! In nove tehnike in pristopi. In nestandardni primeri. In nova presenečenja.) Vse to je v naslednji lekciji!

Nekaj \u200b\u200bni uspelo? Torej, najverjetneje, težave v. Ali v. Ali v tem in drugi takoj. Tukaj sem nemočen. Še enkrat lahko ponudim samo eno stvar - ne sme biti lena in se sprehodimo skozi reference.)

Se nadaljuje.)