Как определить четная или нечетная функция онлайн. Свойства функций

Как вставить математические формулы на сайт?

Если нужно когда-никогда добавлять одну-две математические формулы на веб-страницу, то проще всего сделать это, как описано в статье : математические формулы легко вставляются на сайт в виде картинок, которые автоматически генерирует Вольфрам Альфа. Кроме простоты, этот универсальный способ поможет улучшить видимость сайта в поисковых системах. Он работает давно (и, думаю, будет работать вечно), но морально уже устарел.

Если же вы постоянно используете математические формулы на своем сайте, то я рекомендую вам использовать MathJax - специальную библиотеку JavaScript, которая отображает математические обозначения в веб-браузерах с использованием разметки MathML, LaTeX или ASCIIMathML.

Есть два способа, как начать использовать MathJax: (1) при помощи простого кода можно быстро подключить к вашему сайту скрипт MathJax, который будет в нужный момент автоматически подгружаться с удаленного сервера (список серверов ); (2) закачать скрипт MathJax с удаленного сервера на свой сервер и подключить ко всем страницам своего сайта. Второй способ - более более сложный и долгий - позволит ускорить загрузку страниц вашего сайта, и если родительский сервер MathJax по каким-то причинам станет временно недоступен, это никак не повлияет на ваш собственный сайт. Несмотря на эти преимущества, я выбрал первый способ, как более простой, быстрый и не требующий технических навыков. Следуйте моему примеру, и уже через 5 минут вы сможете использовать все возможности MathJax на своем сайте.

Подключить скрипт библиотеки MathJax с удаленного сервера можно при помощи двух вариантов кода, взятого на главном сайте MathJax или же на странице документации :

Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.

Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.

Любой фрактал строится по определенному правилу, которое последовательно применяется неограниченное количество раз. Каждый такой раз называется итерацией.

Итеративный алгоритм построения губки Менгера достаточно простой: исходный куб со стороной 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из него удаляются один центральный куб и 6 прилежащих к нему по граням кубов. Получается множество, состоящее из 20 оставшихся меньших кубов. Поступая так же с каждым из этих кубов, получим множество, состоящее уже из 400 меньших кубов. Продолжая этот процесс бесконечно, получим губку Менгера.

Для этого воспользуйтесь миллиметровкой или графическим калькулятором. Выберите несколько любых числовых значений независимой переменной x {\displaystyle x} и подставьте их в функцию, чтобы вычислить значения зависимой переменной y {\displaystyle y} . Найденные координаты точек нанесите на координатную плоскость, а затем соедините эти точки, чтобы построить график функции.

В функцию подставьте положительные числовые значения x {\displaystyle x} и соответствующие отрицательные числовые значения. Например, дана функция . Подставьте в нее следующие значения x {\displaystyle x} :
- f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 {\displaystyle f(1)=2(1)^{2}+1=2+1=3} (1 , 3) {\displaystyle (1,3)} .
- f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 {\displaystyle f(2)=2(2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9} . Получили точку с координатами (2 , 9) {\displaystyle (2,9)} .
- f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 {\displaystyle f(-1)=2(-1)^{2}+1=2+1=3} . Получили точку с координатами (− 1 , 3) {\displaystyle (-1,3)} .
- f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 {\displaystyle f(-2)=2(-2)^{2}+1=2(4)+1=8+1=9} . Получили точку с координатами (− 2 , 9) {\displaystyle (-2,9)} .

Проверьте, симметричен ли график функции относительно оси Y. Под симметрией подразумевается зеркальное отображение графика относительно оси ординат. Если часть графика справа от оси Y (положительные значения независимой переменной) совпадает с частью графика слева от оси Y (отрицательные значения независимой переменной), график симметричен относительно оси Y. Если функция симметрична относительно оси ординат, такая функция четная.

Проверить симметричность графика можно по отдельным точкам. Если значение y {\displaystyle y} x {\displaystyle x} , совпадает со значением y {\displaystyle y} , которое соответствует значению − x {\displaystyle -x} , функция является четной. В нашем примере с функцией f (x) = 2 x 2 + 1 {\displaystyle f(x)=2x^{2}+1} мы получили следующие координаты точек:
- (1,3) и (-1,3)
- (2,9) и (-2,9)
Обратите внимание, что при x=1 и x=-1 зависимая переменная у=3, а при x=2 и x=-2 зависимая переменная у=9. Таким образом, функция четная. На самом деле, чтобы точно выяснить вид функции, нужно рассмотреть более двух точек, но описанный способ является хорошим приближением.

Проверьте, симметричен ли график функции относительно начала координат. Начало координат – это точка с координатами (0,0). Симметрия относительно начала координат означает, что положительному значению y {\displaystyle y} (при положительном значении x {\displaystyle x} ) соответствует отрицательное значение y {\displaystyle y} (при отрицательном значении x {\displaystyle x} ), и наоборот. Нечетные функции обладают симметрией относительно начала координат.

Если в функцию подставить несколько положительных и соответствующих отрицательных значений x {\displaystyle x} , значения y {\displaystyle y} будут различаться по знаку. Например, дана функция f (x) = x 3 + x {\displaystyle f(x)=x^{3}+x} . Подставьте в нее несколько значений x {\displaystyle x} :
- f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 {\displaystyle f(1)=1^{3}+1=1+1=2} . Получили точку с координатами (1,2).
- f (− 1) = (− 1) 3 + (− 1) = − 1 − 1 = − 2 {\displaystyle f(-1)=(-1)^{3}+(-1)=-1-1=-2}
- f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 {\displaystyle f(2)=2^{3}+2=8+2=10}
- f (− 2) = (− 2) 3 + (− 2) = − 8 − 2 = − 10 {\displaystyle f(-2)=(-2)^{3}+(-2)=-8-2=-10} . Получили точку с координатами (-2,-10).
Таким образом, f(x) = -f(-x), то есть функция нечетная.

Проверьте, имеет ли график функции какую-нибудь симметрию. Последний вид функции – это функция, график которой не имеет симметрии, то есть зеркальное отображение отсутствует как относительно оси ординат, так и относительно начала координат. Например, дана функция .

В функцию подставьте несколько положительных и соответствующих отрицательных значений x {\displaystyle x} :
- f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 {\displaystyle f(1)=1^{2}+2(1)+1=1+2+1=4} . Получили точку с координатами (1,4).
- f (− 1) = (− 1) 2 + 2 (− 1) + (− 1) = 1 − 2 − 1 = − 2 {\displaystyle f(-1)=(-1)^{2}+2(-1)+(-1)=1-2-1=-2} . Получили точку с координатами (-1,-2).
- f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 {\displaystyle f(2)=2^{2}+2(2)+2=4+4+2=10} . Получили точку с координатами (2,10).
- f (− 2) = (− 2) 2 + 2 (− 2) + (− 2) = 4 − 4 − 2 = − 2 {\displaystyle f(-2)=(-2)^{2}+2(-2)+(-2)=4-4-2=-2} . Получили точку с координатами (2,-2).
Согласно полученным результатам, симметрии нет. Значения y {\displaystyle y} для противоположных значений x {\displaystyle x} не совпадают и не являются противоположными. Таким образом, функция является ни четной, ни нечетной.
Обратите внимание, что функцию f (x) = x 2 + 2 x + 1 {\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+1} можно записать так: f (x) = (x + 1) 2 {\displaystyle f(x)=(x+1)^{2}} . Будучи записанной в такой форме, функция кажется четной, потому что присутствует четный показатель степени. Но этот пример доказывает, что вид функции нельзя быстро определить, если независимая переменная заключена в скобки. В этом случае нужно раскрыть скобки и проанализировать полученные показатели степени.

Четность и нечетность функции являются одним из основных ее свойств, и на четность занимает внушительную часть школьного курса по математике. Она во много определяет характер поведения функции и значительно облегчает построение соответствующего графика.

Определим четность функции. Вообще говоря, исследуемую функцию считают четной, если для противоположных значений независимой переменной (x), находящихся в ее области определения, соответствующие значения y (функции) окажутся равными.

Дадим более строгое определение. Рассмотрим некоторую функцию f (x), которая задана в области D. Она будет четной, если для любой точки x, находящейся в области определения:

-x (противоположная точка) также лежит в данной области определения,

f (-x) = f (x).

Из приведенного определения следует условие, необходимое для области определения подобной функции, а именно, симметричность относительно точки О, являющейся началом координат, поскольку если некоторая точка b содержится в области определения четной функции, то соответствующая точка - b тоже лежит в этой области. Из вышесказанного, таким образом, вытекает вывод: четная функция имеет симметричный по отношению к оси ординат (Oy) вид.

Как на практике определить четность функции?

Пусть задается с помощью формулы h(x)=11^x+11^(-x). Следуя алгоритму, вытекающему непосредственно из определения, исследуем прежде всего ее область определения. Очевидно, что она определена для всех значений аргумента, то есть первое условие выполнено.

Следующим шагом подставим вместо аргумента (x) его противоположное значение (-x).
Получаем:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Поскольку сложение удовлетворяет коммутативному (переместительному) закону, то очевидно, h(-x) = h(x) и заданная функциональная зависимость - четная.

Проверим четность функции h(x)=11^x-11^(-x). Следуя тому же алгоритму, получаем, что h(-x) = 11^(-x) -11^x. Вынеся минус, в итоге, имеем
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Следовательно, h(x) - нечетная.

Кстати, следует напомнить, что есть функции, которые невозможно классифицировать по этим признакам, их называют ни четными, ни нечетными.

Четные функции обладают рядом интересных свойств:

в результате сложения подобных функций получают четную;
в результате вычитания таких функций получают четную;
четной, также четная;
в результате умножения двух таких функций получают четную;
в результате умножения нечетной и четной функций получают нечетную;
в результате деления нечетной и четной функций получают нечетную;
производная такой функции - нечетная;
если возвести нечетную функцию в квадрат, получим четную.

Четность функции можно использовать при решении уравнений.

Чтобы решить уравнение типа g(x) = 0, где левая часть уравнения представляет из себя четную функцию, будет вполне достаточно найти ее решения для неотрицательных значений переменной. Полученные корни уравнения необходимо объединить с противоположными числами. Один из них подлежит проверке.

Это же успешно применяют для решения нестандартных задач с параметром.

Например, есть ли какое-либо значение параметра a, при котором уравнение 2x^6-x^4-ax^2=1 будет иметь три корня?

Если учесть, что переменная входит в уравнение в четных степенях, то понятно, что замена х на - х заданное уравнение не изменит. Отсюда следует, что если некоторое число является его корнем, то им же является и противоположное число. Вывод очевиден: корни уравнения, отличные от нуля, входят в множество его решений «парами».

Ясно, что само число 0 не является, то есть число корней подобного уравнения может быть только четным и, естественно, ни при каком значении параметра оно не может иметь трех корней.

А вот число корней уравнения 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 может быть нечетным, причем для любого значения параметра. Действительно, легко проверить, что множество корней данного уравнения содержит решения «парами». Проверим, является ли 0 корнем. При подстановке его в уравнение, получаем 2=2 . Таким образом, кроме «парных» 0 также является корнем, что и доказывает их нечетное количество.

четной , если при всех \(x\) из ее области определения верно: \(f(-x)=f(x)\) .

График четной функции симметричен относительно оси \(y\) :

Пример: функция \(f(x)=x^2+\cos x\) является четной, т.к. \(f(-x)=(-x)^2+\cos{(-x)}=x^2+\cos x=f(x)\) .

\(\blacktriangleright\) Функция \(f(x)\) называется нечетной , если при всех \(x\) из ее области определения верно: \(f(-x)=-f(x)\) .

График нечетной функции симметричен относительно начала координат:

Пример: функция \(f(x)=x^3+x\) является нечетной, т.к. \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\) .

\(\blacktriangleright\) Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида. Такую функцию можно всегда единственным образом представить в виде суммы четной и нечетной функции.

Например, функция \(f(x)=x^2-x\) является суммой четной функции \(f_1=x^2\) и нечетной \(f_2=-x\) .

\(\blacktriangleright\) Некоторые свойства:

1) Произведение и частное двух функций одинаковой четности - четная функция.

2) Произведение и частное двух функций разной четности - нечетная функция.

3) Сумма и разность четных функций - четная функция.

4) Сумма и разность нечетных функций - нечетная функция.

5) Если \(f(x)\) - четная функция, то уравнение \(f(x)=c \ (c\in \mathbb{R}\) ) имеет единственный корень тогда и только когда, когда \(x=0\) .

6) Если \(f(x)\) - четная или нечетная функция, и уравнение \(f(x)=0\) имеет корень \(x=b\) , то это уравнение обязательно будет иметь второй корень \(x=-b\) .

\(\blacktriangleright\) Функция \(f(x)\) называется периодической на \(X\) , если для некоторого числа \(T\ne 0\) выполнено \(f(x)=f(x+T)\) , где \(x, x+T\in X\) . Наименьшее \(T\) , для которого выполнено данное равенство, называется главным (основным) периодом функции.

У периодической функции любое число вида \(nT\) , где \(n\in \mathbb{Z}\) также будет являться периодом.

Пример: любая тригонометрическая функция является периодической;
у функций \(f(x)=\sin x\) и \(f(x)=\cos x\) главный период равен \(2\pi\) , у функций \(f(x)=\mathrm{tg}\,x\) и \(f(x)=\mathrm{ctg}\,x\) главный период равен \(\pi\) .

Для того, чтобы построить график периодической функции, можно построить ее график на любом отрезке длиной \(T\) (главный период); тогда график всей функции достраивается сдвигом построенной части на целое число периодов вправо и влево:

\(\blacktriangleright\) Область определения \(D(f)\) функции \(f(x)\) - это множество, состоящее из всех значений аргумента \(x\) , при которых функция имеет смысл (определена).

Пример: у функции \(f(x)=\sqrt x+1\) область определения: \(x\in

Задание 1 #6364

Уровень задания: Равен ЕГЭ

При каких значениях параметра \(a\) уравнение

имеет единственное решение?

Заметим, что так как \(x^2\) и \(\cos x\) - четные функции, то если уравнение будет иметь корень \(x_0\) , оно также будет иметь и корень \(-x_0\) .
Действительно, пусть \(x_0\) – корень, то есть равенство \(2x_0^2+a\mathrm{tg}\,(\cos x_0)+a^2=0\) верно. Подставим \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm{tg}\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm{tg}\,(\cos x_0)+a^2=0\) .

Таким образом, если \(x_0\ne 0\) , то уравнение уже будет иметь как минимум два корня. Следовательно, \(x_0=0\) . Тогда:

Мы получили два значения параметра \(a\) . Заметим, что мы использовали то, что \(x=0\) точно является корнем исходного уравнения. Но мы нигде не использовали то, что он единственный. Следовательно, нужно подставить получившиеся значения параметра \(a\) в исходное уравнение и проверить, при каких именно \(a\) корень \(x=0\) действительно будет единственным.

1) Если \(a=0\) , то уравнение примет вид \(2x^2=0\) . Очевидно, что это уравнение имеет лишь один корень \(x=0\) . Следовательно, значение \(a=0\) нам подходит.

2) Если \(a=-\mathrm{tg}\,1\) , то уравнение примет вид \ Перепишем уравнение в виде \ Так как \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\) , то \(-\mathrm{tg}\,1\leqslant \mathrm{tg}\,(\cos x)\leqslant \mathrm{tg}\,1\) . Следовательно, значения правой части уравнения (*) принадлежат отрезку \([-\mathrm{tg}^2\,1; \mathrm{tg}^2\,1]\) .

Так как \(x^2\geqslant 0\) , то левая часть уравнения (*) больше или равна \(0+ \mathrm{tg}^2\,1\) .

Таким образом, равенство (*) может выполняться только тогда, когда обе части уравнения равны \(\mathrm{tg}^2\,1\) . А это значит, что \[\begin{cases} 2x^2+\mathrm{tg}^2\,1=\mathrm{tg}^2\,1 \\ \mathrm{tg}\,1\cdot \mathrm{tg}\,(\cos x)=\mathrm{tg}^2\,1 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x=0\\ \mathrm{tg}\,(\cos x)=\mathrm{tg}\,1 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Следовательно, значение \(a=-\mathrm{tg}\,1\) нам подходит.

Ответ:

\(a\in \{-\mathrm{tg}\,1;0\}\)

Задание 2 #3923

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых график функции \

симметричен относительно начала координат.

Если график функции симметричен относительно начала координат, то такая функция является нечетной, то есть выполнено \(f(-x)=-f(x)\) для любого \(x\) из области определения функции. Таким образом, требуется найти те значения параметра, при которых выполнено \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin{aligned} &3\mathrm{tg}\,\left(-\dfrac{ax}5\right)+2\sin \dfrac{8\pi a+3x}4= -\left(3\mathrm{tg}\,\left(\dfrac{ax}5\right)+2\sin \dfrac{8\pi a-3x}4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm{tg}\,\dfrac{ax}5+2\sin \dfrac{8\pi a+3x}4= -\left(3\mathrm{tg}\,\left(\dfrac{ax}5\right)+2\sin \dfrac{8\pi a-3x}4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac{8\pi a+3x}4+\sin \dfrac{8\pi a-3x}4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac{8\pi a+3x}4+\dfrac{8\pi a-3x}4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac{8\pi a+3x}4-\dfrac{8\pi a-3x}4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \frac34 x=0 \end{aligned}\]

Последнее уравнение должно быть выполнено для всех \(x\) из области определения \(f(x)\) , следовательно, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb{Z}\) .

Ответ:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb{Z}\)

Задание 3 #3069

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \ имеет 4 решения, где \(f\) – четная периодическая с периодом \(T=\dfrac{16}3\) функция, определенная на всей числовой прямой, причем \(f(x)=ax^2\) при \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Задача от подписчиков)

Так как \(f(x)\) – четная функция, то ее график симметричен относительно оси ординат, следовательно, при \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\) \(f(x)=ax^2\) . Таким образом, при \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) , а это отрезок длиной \(\dfrac{16}3\) , функция \(f(x)=ax^2\) .

1) Пусть \(a>0\) . Тогда график функции \(f(x)\) будет выглядеть следующим образом:

Тогда для того, чтобы уравнение имело 4 решения, нужно, чтобы график \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) проходил через точку \(A\) :

Следовательно, \[\dfrac{64}9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &9(a+2)=32a\\ &9(a+2)=-32a \end{aligned} \end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &a=\dfrac{18}{23}\\ &a=-\dfrac{18}{41} \end{aligned} \end{gathered}\right.\] Так как \(a>0\) , то подходит \(a=\dfrac{18}{23}\) .

2) Пусть \(a0\) ). Если произведение двух корней положительное и сумма их положительная, то и сами корни будут положительными. Следовательно, нужно: \[\begin{cases} 12-a>0\\-(a-10)>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad a