Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Презентации представляют некоторую последовательность кадров, содержащих текст, либо рисунок, либо то и другое.

Художник, создающий картину, видит конечную цель своего замысла. Зрители, оценивающие картину, также интересуются конечным результатом. Путь, по которому прошел художник, часто остается тайной даже для искусствоведов.

Учитель, объясняющий новую тему, напротив, заинтересован показать последовательность получения результата, его отдельные шаги, или, если можно так выразиться, «алгоритм» его получения.

Известный математик и астроном Жюль Анри Пуанкаре (1854 – 1912) объяснял свои успехи тем, что он запоминает алгоритмы, а не факты. Запомнить алгоритм, то есть логическую последовательность, проще, чем отдельный факт.

Ученик так же лучше бы понимал алгоритм. Однако учебник часто не содержит всех промежуточных этапов получения решения, особенно это касается построения рисунков. Обычно показывается окончательный рисунок, содержащий много элементов, что не способствует пониманию и запоминанию ее учеником.

Поэтапный или поэлементный показ текста и рисунка в учебнике невозможен. Это привело бы к увеличению его объема.

Существуют программы, дающие учителю возможность создания презентаций, например,

программа Power Point, имеющая богатые возможности для создания кадров и навигации. Однако в этой программе отсутствует возможность поэлементного раскрытия содержания рисунка. Рисунок показывается полностью, либо показывается какая-то его часть, а для того, чтобы последовательно показать изменения рисунка, необходимо создавать новые рисунки и показывать их последовательно, что увеличивает размер программы и требует точного совмещения положений рисунков, так как даже небольшие отклонения приводят к смещению рисунка и затрудняют его восприятие.

Между тем, существует свободно распространяемая система LaTex, включающая пакеты Beamer и Tikz, позволяющая как создавать презентации, так и постепенно показывать рисунок, не изменяя кадр целиком, а добавляя элементы рисунка. Данная возможность особенно важна при показе сложных рисунков, имеющих много элементов. При показе всего рисунка ученику сложно сразу осознать, каким образом и в какой последовательности создавались элементы рисунка, что затрудняет его понимание.

Цель данной презентации состоит в том, чтобы показать возможности, предоставляемые указанными выше пакетами, для создания постепенно раскрываемого содержания кадров (слайдов). Практическое применение подобных презентаций показало их более высокую эффективность в процессе изучения, особенно разделов, требующих рассмотрения достаточно сложных чертежей. К таким разделам относится тема «Признак перпендикулярности прямой и плоскости».

Приведем краткое содержание презентации.

Сначала показывается название презентации (слайд 1). Затем следует эпиграф, на каждом уроке различный (слайды 2, 3), а за ним цель урока (слайды 4–7), раскрываемые на экране последовательно.

1. Повторить теоретический материал предыдущего урока (слайд 4).
2. Решить задачу 119 (слайд 5).
3. Доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости (слайд 6).
4. Показать применение признака перпендикулярности при решении задач (слайд 7).

Повторение темы «Перпендикулярные прямые».

Вопрос: Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными (слайд 8)?

Ответ: (сначала ответов на вопросы не видно, затем они открываются на этом же слайде и выделены красным цветом)

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов (слайды 9 (ответ) и 10 (рисунок)).

Вопрос: Что утверждает лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой (слайд 11)?

Ответ: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой (слайд 12 (ответ) и 13 (рисунок)).

Вопрос: Какая прямая называется перпендикулярной к плоскости (слайд 14).

Ответ: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости (обозначение a ⊥ a (слайд 15)). Показывается рисунок (слайд 16).

Вопрос: Какая связь между параллельностью параллельных прямых и их перпендикулярностью к плоскости (слайд 17)?

Ответ: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости (слайд 18 (ответ) и 19 (рисунок)).

Вопрос: Как формулируется обратная теорема (слайд 20)?

Ответ: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны (слайд 21).

Показывается рисунок (слайд 22).

Представьте телеграфные столбы вдоль дороги. Можно ли утверждать, что столбы перпендикулярны к плоскости дороги (слайды 23, 24, 25)?

Нельзя! Как видно на втором рисунке (вид сбоку), левый и правый столбы даже не параллельны (слайд 26).

Решим задачу № 119.

Прямая OA перпендикулярна к плоскости OBC и точка O является серединой отрезка.AD . Докажите, что а) AB= DB ; б) AB= AC , если OB= OC ; в) OB= OC , если AB= AC (слайд 27).

Решение, (случай а)) (слайд 28). Показывается рисунок (слайд 29). OA ⊥ OBC по условию (слайд 30), тогда OA ⊥ OB по определению перпендикулярности прямой к плоскости (слайд 31). OA= OD по условию задачи, поэтому OB – серединный перпендикуляр к AD и поэтому AB= DB (слайд 32).

Решение, (случай б)) (слайд 33). Показывается рисунок (слайд 34). OA ⊥ OBC по условию (слайд 35), тогд OA ⊥ OC . Если OB = OC , то ΔAOC = ΔAOB (по двум катетам) и AB= AC (слайд 36).

Решение, (случай в)) (слайд 37). Показывается рисунок (слайд 38). Если AB= AC , то ΔAOC = ΔAOB (по катету и гипотенузе) и OB= OC (слайд 39).

Вопрос: Как же проверить, перпендикулярна данная прямая к данной плоскости или нет (слайд 40)? Ответ дает теорема, выражающая признак перпендикулярности прямой и плоскости (слайд 41).

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости (слайд 42).

Приводится краткая запись условия теоремы и ее заключения (слайды 43 - 46).

Затем показывается (пошагово) доказательство.

Рассмотрим плоскость a (слайд 47), (показывается плоскость a (слайд 48)) и прямую a , a ⊥ p , a ⊥ q , где (слайд 49) (показывается прямая a (слайд 50)), p и q – прямые, принадлежащие плоскости a , пересекающиеся в точке O (слайд 51). (Показываются прямые p ,q и точка O (слайды 52, 53)).

Пусть m произвольная прямая плоскости a (слайд 54). (Показывается прямая m (слайд 55)). Докажем, что a ⊥ m . Тогда a ⊥ a (по определению) (слайд 56).

Рассмотрим сначала случай, когда прямая a проходит через точку O (слайд 57). (Показывается прямая a (слайд 58)).

Проведем через точку O прямую l , параллельную m (слайд 59). (Показывается прямая m (слайд 60)).

Отметим на прямой a точки A и B так, чтобы OA= OB (слайд 61). (Показываются точки A и B (слайд 62)).

Проведем в плоскости a прямую, пересекающую прямые p ,q и l в точках P, Q, L соответственно (слайд 63). (Показывается данная прямая (слайд 64)).

p и q – срединные перпендикуляры к AB . Поэтому AP= BP (слайд 65), (показываются прямые AP и BP (слайд 66)) AQ= BQ (слайд 67), (показываются прямые AQ и BQ (слайд 68))

ΔAPQ = ΔBPQ по трем сторонам (слайд 69). Тогда угол APQ равен углу BPQ (слайд 70).

Проведем отрезки AL и BL (слайд 71). (Показываются отрезки AL и BL (слайд 72)).

ΔAPL = ΔBPL по двум сторонам и углу между ними. Поэтому AL= BL (слайд 73).

Тогда ΔABL равнобедренный (слайд 74). Его медиана LO является его высотой, то есть l ⊥a (слайд 75). Так как l параллельна m и l ⊥ a , то по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых третьей m ⊥ a (слайд 76).

Таким образом, прямая a перпендикулярна к любой прямой m плоскости a , то есть m ⊥ a (слайд 77).

Пусть теперь прямая a не проходит через точку O (слайд 78). (Показывается прямая, не проходящая через точку O (слайд 79)).

Проведем через точку O прямую a 1 параллельную a (слайд 80). (Показывается прямая a 1 (слайд 81)).

По лемме a 1 ⊥ p и a 1 ⊥ q , поэтому по доказанному в первом случае a 1 ⊥ a (слайд 82).

Тогда по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к плоскости, следует, a ⊥ a (слайд 83).

Пример применения признака перпендикулярности.

Задача 128. Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая OM так, что MA= MC , MB= MD . Докажите, что прямая OM перпендикулярна к плоскости параллелограмма (слайд 84). (Показывается рисунок к задаче (слайд 85)).

Решение (слайд 86)

По условию MA= MC и AO= OC по свойству диагоналей параллелограмма (слайд 87). Поэтому MO – медиана равнобедренного треугольника AMC (слайд 88). Следовательно, MO также высота этого треугольника, то есть MO ⊥ AC (слайд 89).

Аналогично доказывается, что MO ⊥ BD (слайд 90).

Так как MO ⊥ AC и MO ⊥ BD , то MO ⊥ ABCD по признаку перпендикулярности прямой и плоскости (слайд 91).

Литература (слайд 93):

1. Till Tantau User Guide to the Beamer Class, Version 3.07. http://latex-beamer.sourceforge.net, September 29, 2011.
2. Till Tantau The Tikz and PGF Packages, Manual for Version 2.10, http://sourceforge.net/projects/pgf, October, 2010.

Тема: Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Урок геометрии в 10 классе

Информационная карта урока

Предмет : Геометрия

Класс: 10 .

Тема: «Признак перпендикулярности прямой и плоскости»

Цели урока :

Познакомиться с признаком перпендикулярности прямой и плоскости и научиться применять его при решении задач стереометрии

Развитие пространственного воображения и логического мышления обучающихся

Воспитание уважительного отношения к мнению окружающих

Форма урока: комбинированный

Структура урока

Организационный момент

Актуализация знаний обучающихся по теме «Перпендикулярность прямых в пространстве. Определение перпендикулярности прямой и плоскости».

Знакомство с признаком перпендикулярности прямой и плоскости, доказательство теоремы.

Отработка навыков применения признака перпендикулярности прямой и плоскости при решении устных и письменных задач.

Подведение итогов урока.

Домашнее задание.

Описание хода урока

Организационный момент урока : приветствие, проверка готовности к уроку (рабочих тетрадей, учебников, письменных принадлежностей).

Актуализация знаний , полученных учащимися на предыдущем уроке:

• понятие перпендикулярности прямых в пространстве;

  перпендикулярность прямой и плоскости;

  свойств параллельных прямых, перпендикулярных плоскости.

2.1. С целью актуализации знаний один ученик выходит к доске и записывает решение задачи, вызвавшей наибольшие трудности в домашней работе.

2.2. Пока он готовится, фронтальный опрос класса:

Каково взаимное расположение прямых в пространстве?

Как определяется угол между прямыми в пространстве?

Какие прямые в пространстве называют перпендикулярными?

Сформулируйте лемму о параллельных прямых, перпендикулярных третьей прямой.

Дайте определение перпендикулярности прямой и плоскости.

После выполнения оперативная проверка правильности ответов. Разобрать вопросы, вызвавшие затруднения.

Дополнительные вопросы к №4 и №5:

дайте словесную формулировку свойств параллельных прямых;

дайте словесную формулировку свойств прямых, перпендикулярных плоскости.

2.4. Предложить учащимся устно решить задачу

В более подготовленном классе дополнительно предложить для решения вторую часть задачи с числовыми данными.

2.5. Проверка правильности решения домашней задачи.

3. Изучение признака перпендикулярности прямой и плоскости.

3.1. Перед изучением непосредственно признака обратить внимание обучающихся на то, что на практике невозможно пользоваться определением перпендикулярности прямой и плоскости, т. к. нельзя проверить перпендикулярность прямой к любой прямой данной плоскости. Облегчить задачу помогает признак.

Объявляется тема урока и основная цель

Записывается тема урока в тетради, домашнее задание.

3.2. Доказательство теоремы (и чертеж) производится поэтапно (слайд 4), записи ученики выполняют в тетради. В более подготовленном классе дается весь план доказательства, каждый пункт доказательства ученики обосновывают самостоятельно, если необходимо, можно пользоваться учебником. В менее подготовленном классе каждый пункт доказательства обсуждается и после этого ученики делают соответствующие записи.

3.3. Тем ученикам, кто быстро справляется с доказательством теоремы, можно дать дополнительное задание на карточках:

«Доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости с помощью векторов»

В случае быстрого и успешного решения ученик доказывает теорему у доски. Если на уроке второе доказательство не найдено, предложить желающим выполнить его дома

4. Отработка навыков применения теоретических знаний к решению задач.

4.1. С целью первичного закрепления умения применять признак перпендикулярности прямой и плоскости предложить для устного решения задачи 1, 2 и 3 (слайды 6, 7 и 8 соответственно).

В мене подготовленном классе целесообразнее задачу 3 выполнить после письменного решения №127 из учебника.

Слайд 11

5. Подвести итоги урока . В качестве дополнительных вопросов предложить следующие:

кто знает, как можно проверить на практике перпендикулярность прямой и плоскости, какие инструменты для этого существуют (с помощью двух треугольников, с помощью двух уровней);

на сколько существенно, что в признаке перпендикулярности прямой и плоскости, взяты две пересекающиеся прямые?

6. Записать задание на дом (слайд 3, по желанию карточка с дополнительной задачей).

Презентация на тему: Признак перпендикулярности прямой и плоскости

1 из 24

Презентация на тему: Признак перпендикулярности прямой и плоскости

№ слайда 1

Описание слайда:

№ слайда 2

Описание слайда:

Цели урока: Материалы этого урока знакомят с признаком перпендикулярности прямой и плоскости и свойствами перпендикулярных прямой и плоскости. Окружающий нас мир дает много примеров перпендикулярности прямой и плоскости. Правильно установленный вертикальный столб перпендикулярен к плоскости земли. Линии пересечения стен комнаты перпендикулярны к плоскости пола. При строительстве зданий при установке столбов для их устойчивости очень важно обеспечить перпендикулярность к поверхности земли. Для этого существуют специальные способы проверки перпендикулярности, основанные на признаке перпендикулярности прямой и плоскости и свойствах перпендикулярных прямой и плоскости, которые мы и будем изучать. Изучив материалы предыдущего урока, вы познакомились с определением и свойствами перпендикулярных прямых, с определением прямой перпендикулярной к плоскости. Повторите еще раз эти материалы. Это поможет вам правильно ответить на вопросы теста, проверяющего ваши знания по теме «Перпендикулярные прямые».

№ слайда 3

Описание слайда:

Перпендикулярные прямые Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 900. Для обозначения перпендикулярности используется знак ┴. На рисунке прямая m перпендикулярна прямой n или m┴n. Лемма о перпендикулярных прямых Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. Символически эту лемму можно записать так

№ слайда 4

Описание слайда:

Прямая, перпендикулярная к плоскости Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой на этой плоскости. Для обозначения перпендикулярности используется знак ┴. На рисунке изображена прямая а, перпендикулярная плоскости a или а┴α.

№ слайда 5

Описание слайда:

Теорема о двух параллельных прямых и плоскости Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. Символически эту теорему можно записать так Теорема о двух прямых, перпендикулярных к плоскости Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны друг другу. Символически эту теорему можно записать так

№ слайда 6

Описание слайда:

Признак перпендикулярности прямой и плоскости Наверное, каждому приходилось вкапывать штанги футбольных ворот. До перекладины порой и не доходило. Как важно при этом было так установить штангу так, чтобы она была перпендикулярна поверхности земли. Если использовать определение перпендикулярности прямой к плоскости, то тогда следует проверять перпендикулярность штанги к каждой прямой на футбольном поле. А нельзя ли ограничиться меньшим числом проверок? Оказывается можно. Но одной проверки явно недостаточно. Если данная прямая перпендикулярна только к одной прямой на плоскости, то она не перпендикулярна к самой плоскости (рис.3). Она может и лежать в этой плоскости. Если же прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости (рис.4). Это утверждение называется признаком перпендикулярности прямой и плоскости и формулируется в виде теоремы. Таким образом, чтобы установить штангу ворот перпендикулярно плоскости поля достаточно проверить ее перпендикулярность, посмотрев на нее с двух разных, но не противоположных сторон.

№ слайда 7

Описание слайда:

Теорема Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. Пусть b┴q; b┴p; p a; q a; p ∩ q=O. Докажем, что b┴a. Для этого нужно доказать, что прямая b перпендикулярна к любой (произвольной) прямой m на плоскости a. Рассмотрим сначала случай, когда прямая b проходит через точку пересечения О. Проведем через точку О прямую l, параллельную прямой m. Отметим на прямой b точки А и В, равноудаленные от точки O, и проведем в плоскости a прямую, пересекающую прямые p, l и q соответственно в точках P, L и Q. Так как прямые p и q – серединные перпендикуляры, то АР=ВР и AQ=BQ. Следовательно, ∆APQ=∆BPQ (по трем сторонам). Тогда APL= BPL и ∆ APL= ∆ BPL (по двум сторонам и углу). Тогда AL=BL. Следовательно, ∆ALB – равнобедренный, отрезок LO является медианой и высотой в этом треугольнике, AОL=900 и b┴l. Поскольку l || m, то b┴m (по лемме о перпендикулярных прямых), то есть b┴a.

№ слайда 8

Описание слайда:

Рассмотрим теперь случай, когда прямая а не проходит через точку О, но а┴q; а┴p. Проведем через точку О прямую, параллельную прямой а. Эта прямая перпендикулярна прямым p и q (по лемме о перпендикулярных прямых) и, следовательно, совпадает с прямой b. Поскольку b┴a и b||a, то а┴a (по теореме о двух параллельных прямых и плоскости). Теорема доказана. Символически эту теорему можно записать так Докажем две теоремы, обосновывающие существование плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой и существование прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данной плоскости. При доказательстве этих теорем будет использован признак перпендикулярности прямой и плоскости.

№ слайда 9

Описание слайда:

Плоскость, перпендикулярная прямой Теорема Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой и притом только одна. Обозначим данную прямую буквой а, а произвольную точку пространства – буквой М. 1. Докажем существование плоскости, перпендикулярной прямой а и проходящей через точку М. Проведем через прямую а две плоскости и так, чтобы плоскость проходила через точку М.. В плоскости проведем через точку М прямую р, перпендикулярную прямой а и пересекающую ее в точке А. В плоскости проведем прямую q, перпендикулярную прямой а и проходящую через точку А. Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые p и q. Эта плоскость перпендикулярна прямой а (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости) и проходит через произвольную точку М. Следовательно, это искомая плоскость. Существование доказано.

№ слайда 10

Описание слайда:

2. Докажем единственность такой плоскости. Проведем доказательство от противного. Пусть существуют две плоскости и, проходящие через точку М и перпендикулярные прямой а. Но тогда || . Но плоскости и не могут быть параллельными друг другу, так как имеют общую точку М. Следовательно наше предположение неверно и существует только одна плоскость, проходящая через произвольную точку пространства перпендикулярно данной прямой. Единственность доказана.

№ слайда 11

Описание слайда:

Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная данной плоскости и притом только одна. Обозначим данную плоскость буквой a, а произвольную точку пространства – буквой М. 1. Докажем существование прямой, перпендикулярной плоскости и проходящей через точку М. Проведем в плоскости прямую b. Через точку М проведем плоскость, перпендикулярную прямой b (это мы можем сделать на основании предыдущей теоремы о плоскости перпендикулярной прямой). Пусть с –общая прямая плоскостей и. Проведем в плоскости через точку М прямую а, перпендикулярную прямой с. Тогда прямая а перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости. Следовательно, прямая а перпендикулярна плоскости a (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Следовательно, а - искомая прямая. Существование доказано.

№ слайда 12

Описание слайда:

2. Докажем единственность такой прямой. Проведем доказательство от противного. Пусть существует две прямые а и а1, проходящие через точку М и перпендикулярные плоскости a. Но тогда а||а1 (см. теорему о двух прямых, перпендикулярных к плоскости). Но прямые а и а1 не могут быть параллельными друг другу, так как имеют общую точку М. Следовательно наше предположение неверно и существует только одна прямая, проходящая через произвольную точку пространства перпендикулярно данной плоскости. Единственность доказана.

№ слайда 13

Описание слайда:

Примеры задач на доказательство. Примеры задач на вычисленияДано: плоскость (АВС), МВ┴АВ, МВ┴ВС, D(АВС). Доказать:∆MBD - прямоугольный. Доказательство. МВ┴АВ, МВ┴ВС. Следовательно, МВ┴(АВС) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости). Тогда МВ┴BD (по определению прямой, перпендикулярной к плоскости). Следовательно, DBM=900 и ∆MBD – прямоугольный, что и требовалось доказать.

№ слайда 14

Описание слайда:

Дано: АВСD - квадрат, МА┴, АВСD . Доказать: BD┴МО. Доказательство. МА┴, следовательно, МА┴ВD (по определению прямой, перпендикулярной к плоскости). ВD┴АО (по свойству квадрата). Тогда ВD┴(АОМ) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости – BD перпендикулярна двум пересекающимся прямым АО и МА, лежащим в этой плоскости). Следовательно, BD┴МО (по определению прямой, перпендикулярной к плоскости), что и требовалось доказать.

Описание слайда:

Проверь себя. Перпендикулярные прямые Перед Вами записаны предложения, разбитые на две части. Подумайте, какой из вариантов нужно выбрать, чтобы получилось верное предложение. Введите номер выбранного варианта. Если две прямые параллельны третьей прямой, то все три прямые всегда лежат в одной плоскости. то они скрещиваются друг с другом. то они параллельны друг другу. то они перпендикулярны друг к другу.

№ слайда 19

Описание слайда:

Проверь себя. Перпендикулярные прямые Перед Вами записаны предложения, разбитые на две части. Подумайте, какой из вариантов нужно выбрать, чтобы получилось верное предложение. Введите номер выбранного варианта. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей то она принадлежит другой плоскости. то другая плоскость не перпендикулярна данной прямой. то она перпендикулярна и другой плоскости. то она всегда параллельна другой плоскости.

Описание слайда:

№ слайда 24

Описание слайда:

Домашнее задание: Л.С.Атанасян и др. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы. 1. Упражнение 129 б) Прямая АМ перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. Докажите, что МО^MD. 2. Упражнение 131 В тетраэдре ABCD точка М – середина ребра ВС, АВ=АС, DB=DC. Докажите, что плоскость треугольника ADM перпендикулярна к прямой ВС. 3. Упражнение 134 Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку М прямой а и перпендикулярные к этой прямой, лежат в плоскости, проходящей через точку М и перпендикулярной прямой а. 4. Упражнение 137 Докажите, что через каждую из двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых проходит плоскость, перпендикулярная к другой прямой.